1) hyperfinte groups
超有限群
2) hyper-(cyclic or finite) group
超-(有限或循环)群
3) The Super-center of a Finite Group
有限群的超中心
4) finite group
有限群
1.
Directed subgroup graph for studying the subgroup properties of finite groups;
利用有向子群图研究有限群的子群性质
2.
On the solvability of finite groups based on normal indexes;
有限群可解性的正规指数刻画
3.
A new graph of conjugacy classes of finite groups;
有限群的一类新的共轭类图
5) finite groups
有限群
1.
The number of the orders of non-normal subgroups and the structure of finite groups;
非正规子群阶的个数与有限群的结构
2.
s-normality subgroups of finite groups and solvablity;
有限群的s-正规子群与可解性
6) finite subgroup
有限子群
1.
It is shown that there are 6 classes finite subgroups on the infinite group R_o except for the identity group.
过定点O的旋转群Ro是无限群,从视直线为旋转轴出发讨论,Ro的有限子群(除单位元群外)共有6种类型。
补充资料：有限群
具有有限多个元素的群。群论的重要内容之一。其所含元素的个数，称为有限群的阶。有限群可分为两大类：可解群与非可解群（特别包括非交换单群）（见群、有限单群）。
可解群 如果有限群G 之合成群列的每个商群Gi-1/Gi（称为G 的合成商因子）是交换群,那么有限群G 称为可解群。易知，若G的合成商因子Gi-1/Gi是交换群，则必为素数阶的循环群。所谓G的合成群列，是指在G 中由有限多个子群组成的降链如，使得Gi是Gi-1的极大正规子群,即,且凡满足Gii-1的H不再是Gi-1的正规子群。G的任意两个合成群列是等价的,意即如果与是G的任意两个合成群列，那么必有s=r,且r个商群H0/H1,H1/H2,...,Hr-1/Hr（即Hr-1）分别与r个商群G0/G1,G1/G2,...,Gr-1/Gr(即Gr-1)除次序外是两两互相同构的。易证,由合成群列G=G0>G1>...>Gr=1所成的每个商群是单群。
在群G中由有限多个正规子群组成的降链使Gi为真包含于Gi-1内的G 之极大正规子群(即Gi-1/Gi是G/Gi的极小正规子群)，称为G的主群列。G的任意两个主群列是等价的。其等价定义与合成群列的等价定义相同。
有限群有合成群列或主群列存在，且任意两个合成群列或主群列是等价的。这就是若尔当-赫尔德-施赖埃尔定理。凡是阶等于pαъ的群恒为可解群,其中p、是互异的素数，α、b是非负整数。这就是著名的伯恩赛德定理。而W.费特、J.汤普森在20世纪60年代初期又证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想，奇数阶的群一定是可解群，因而有限非交换单群的阶必为偶数。
西洛性质 有限群理论中一个经典而重要的结果是著名的拉格朗日定理:有限群G的阶│G│等于G的子群H的阶│H│与 H在G内的指数│G:H│的乘积，即│G│=│H│·│G:H│。但是,并非对│G│的任何因数d,G一定有阶为d的子群。例如，四次交错群A4的阶为12,而A4没有6阶子群（见置换群）。当│G│的因数是pk形的数即一素数p的k次幂时,则G必有阶为pk的子群。这就是有名的西洛第一定理。若除尽│G│的p的最高次幂是pm，其中p是素数，m是自然数,则G的pm阶子群称为西洛p子群。所谓西洛第二定理，其意为：①G中任两个西洛p子群在G内是共轭的;②G中西洛p子群的个数N,必满足N呏1(modp),且为任一西洛p子群的正规化子在G内的指数;③G中凡是阶为pk的子群必为某西洛p子群的子群。进一步有关于有限可解群的西洛基定理:G为可解群的充分必要条件是G有一组西洛基S1，S2，...，Sr,使G=S1S2...Sr。所谓西洛基，是指当G的阶（素因数分解）时，G的一组西洛pi子群Si，i=1，2，...，r,且，使。可解群的西洛基往往不止一组，但是，可解群的任意两组西洛基S1,S2,...，Sr与p1，p2,...,Sr是等价的,即在G中必有元素g使。阶为素数幂的群,习惯上称为p群。西洛子群都是 p群。有限可解群可以表为 p群之积。西洛第一定理和第二定理统称为西洛定理。在有限可解群中可得到西洛定理推广的结果:有限群G为可解群的充分必要条件是，只要有分解│G│=mn,(m,n)=1，G就有阶为m的子群；当G是可解群时，凡是阶为m的子群必互为共轭,若m1│m,则G中凡是阶为m1的子群必为G中至少一个阶为m的子群的子群。这样的m阶子群，通常称为可解群G中的霍尔π子群。
所谓群的π 性质，意即西洛性质的推广。西洛性质是西洛定理的同义语, 即如果有限群G的阶|G|=g,h│g，(h,g/h)=1,h为素数幂,那么G至少有一个h阶子群,且任意两个h阶子群是共轭的,而G中凡是以h的因数为阶的子群，一定是G中某个h阶子群的子群。P.霍尔去掉上述条件中的"h为素数幂"而设"G是可解群"并得到了同样的结论。于是，根据P.霍尔的这一思想方法,将"h为素数幂"改为其他条件来进行探索的工作颇多。例如,"h为素数幂"改为"G包含一个h阶幂零子群"，仍得到相应的结论,即古典的西洛定理推广到含有h的一切素因数的集合π上所得的结果。
幂零群 当可解群 G的西洛基中诸西洛子群都是正规子群时,则可解群G称为幂零群。幂?闳菏强山馊褐械囊桓鲎永唷Ｓ邢奕?G为幂零群的充分必要条件是，G可表为p群的直积。p群自身当然是幂零群。除了这个充分必要条件外，还有几个互为等价的充分必要条件，其中最重要的是，G有上中心列或下中心列。所谓上中心列,是指G有长为m的子群列,使,且其中 Z1(G)为 G 的中心Z(G)，而递归地给出Zk+1(G)使 Zk+1(G)/Zk(G)是商群G/Zk(G)的中心。由G的限性可知，必有某自然数k使,因此当m≥k时, 恒有Zm(G)=Zk(G)。特别地,有某m使Zm(G)=G。所谓下中心列,是指G有长为n的子群列。设H、K是G的任意两个子集,[H,K]表示由形如 的元素所生成的G的子群，即[H,K]=<[h,k]│h∈H，k∈K>,于是[H,K]=[K,H]。当[x1,...,xn]定义后，再递归地定义。同样,对G的子集H1，...，Hn也作类似的定义，且当任意xi∈G(i=1,2，...，n)时，则定义,因此，且。易知。从G的有限性可知,有某自然数k使。因此当m≥k时恒有Km(G)=Kk(G)。特别地，有自然数 n使Kn+1(G)=1。有限群的上中心列和下中心列两者同时存在，且其长相等, 此时G必为幂零群，称为n类幂零群。因而，1类幂零群就是交换群。由此可知，幂零群是介于交换群与可解群之间的一类群。幂零群有下中心列，可解群则有换位群列。G为可解群的充分必要条件是，G有换位群列。所谓换位群列,是指G的子群列，式中为的换位子群，即，而n是某一正整数。此时G也称为n步可解群。1步可解群就是交换群。
p群 在有限群的研究中,p群具有重要的意义。互不同构的pn阶群究竟有多少个，是一个古老而艰难的问题。迄今只解决了当p为奇素数且n≤6时以及当p=2且n≤7时pn阶群的个数问题。关于p群方面的工作颇多,其中由P.霍尔发表的计数原理与正则 p群是奠基性的工作。所谓计数定理,例如,设｜G｜=pn,Sk(G)表示G中pk阶子群的个数，其中0≤k≤n。当Sk(G)=1(1)时,则G必是循环群;当S1(G)=1时;则G或为循环群或可能为所谓广义四元数群,后者仅在p=2及n≥3时可能出现；对于0≤k≤n，有Sk(G)呏1(modp)。特别地，设G为非循环群，p>2则对于1≤k≤n-1有（库拉科夫定理）。又令Ck(G)表pn阶群G中pk阶循环子群的个数。设G是非循环群,p>2，则对于1有Ck(G)呏0(modp)（米勒定理）。两者以及其他的一些计数定理皆可用P.霍尔的计数原理来证明。在这方面华罗庚、段学复早在20世纪40年代就曾一起进行过一些工作。例如,设p>2,｜G｜=pn,pn-α为G中元素之阶的最大数,且n≥2α+1,华罗庚于1945年证明了对于α+1≤m≤n-α有Cm(G)=p。段学复于1948年证明了对于 2α+1≤m≤n，Sm(G)与1，1+p，1+p+p2、1+p+2p2四者之一同余mod p3。所谓正则 p群，是指具有如下性质的p群G:对于G的任意元素α、b恒可找到r个元素с1，с2，...，сr，使每个сi∈<α，b>┡＝[<α，b>，<α,b>]即每个сi在由α、b生成的群之换位子群内,且有，其中自然数r随元素α、b决定。交换p群、阶不超过pp的p群以及幂零类小于p的p群,都是正则p群;换位子群为循环群而p为奇素数的p群、凡非单位元的阶等于p的p群,也都是正则p群。正则p群在p群中有众多例子。但非正则p群也是存在的，例如,p2次对称群中西洛p子群就是pp+1阶非正则p群。
扩张 研究有限群的一个重要方法。设A、B是已知的两个群,如果作一群G,使得AG,且商群G/A≌B,那么群G称为B基于A的扩张。一般,B基于A的扩张不是惟一的，例如，A与B的直积A×B是B基于A的一个扩张,而A与B的半直积也是B基于A的扩张。所谓A与B的半直积为G，是指G=AB,AG，且A∩B=1（即B为A的补子群）。A与B的半直积又称为A的分离扩张。B基于A的扩张为 A与B的半直积的一个充分条件是：A的阶与B的阶互素。这就是著名的舒尔-扎森豪斯定理。当B为循环群时，很容易决定扩张的构造。例如,m阶循环群基于n阶循环群的扩张,必为G＝<α,b>,有定义关系αn=1，bm=αt,b-1αb=αr使满足rm呏1(mod n)及t(r-1)呏0(modn)。因为有限群有合成群列,这里，Gi/Gi+1是单群。因此，Gr-1是单群,且Gr-2是Gr-2/Gr-1基于Gr-1的扩张。若得知Gr-1的构造,则可借助于扩张理论得知Gr-2的构造,从Gr-2的构造以及Gr-3是Gr-3/Gr-2基于Gr-2的扩张可知Gr-3的构造,如此继续进行下去，则终究可得知G的构造。由此可见，研究单群与扩张理论是有限群研究的根本课题。
转移 研究有限群的一个重要方法。设 A是有限群G的任一个子群,将G表为A的右陪集的并集,即，于是│G:A│=n。令A┡=[A,A]，并作商群A/A┡，且用表以G关于A┡的右陪集为元素的集合,若令,则知的每一元素可惟一表为μ=αμi,即惟一决定数码i及交换群A/A┡的一个代表元素α,α∈A，因此，对G的每一元素g，有,式中(1g,2g,...,ng)为(1,2,...,n)的一个排列，且αi,g∈A。作矩阵Mg=(αi,g)使其第i行第ig列交叉处的元素为αi,g(i=1,2,...,n)，而其他处的元素均为0。易证。由此可知，映射g →Mg是G的一个同态映射，称为G的单项表示。因A/A┡是交换群，故可引进行列式,简记为。于是,映射也是G的同态映射,即G到A/A┡内的同态映射，称为G到子群A的转移。利用转移方法可得出许多重要结果。例如,有限群G的西洛p子群p若包含于其正规化子的中心之内,即，则有G=Np，N G,N∩p=1。这就是又一个著名的伯恩赛德定理。由此可知，阶为合数的单群只有两种可能：或为阶被12整除的单群或为阶被8整除的单群。
超可解群 它是介乎幂零群与可解群之间的一类有限群。所谓超可解群,是指有限群G有一个有限多个正规子群的递降列使每个商群Gi-1/Gi为循环群。因此，超可解群是可解群的特例,又是幂零群的推广。判断有限群G 为超可解群有许多等价的充分必要条件,其中常见的有：①G的每个极大子群的指数为素数;②G的主群列的商因子皆为素数阶的循环群；③G的每一子群H(≤G)都有一切可能阶的子群。
参考书目
W. Burnside,Theory of Groups of Finite Order, 2nd ed.,Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1911.
D.Gorenstein,Finite Groups, Harper and Row, New York, 1968.
B.Huppert, Endliche Gruppen,I,Springer-Verlag,Berlin, 1967.
可解群 如果有限群G 之合成群列的每个商群Gi-1/Gi（称为G 的合成商因子）是交换群,那么有限群G 称为可解群。易知，若G的合成商因子Gi-1/Gi是交换群，则必为素数阶的循环群。所谓G的合成群列，是指在G 中由有限多个子群组成的降链如，使得Gi是Gi-1的极大正规子群,即,且凡满足Gi
在群G中由有限多个正规子群组成的降链使Gi为真包含于Gi-1内的G 之极大正规子群(即Gi-1/Gi是G/Gi的极小正规子群)，称为G的主群列。G的任意两个主群列是等价的。其等价定义与合成群列的等价定义相同。
有限群有合成群列或主群列存在，且任意两个合成群列或主群列是等价的。这就是若尔当-赫尔德-施赖埃尔定理。凡是阶等于pαъ的群恒为可解群,其中p、是互异的素数，α、b是非负整数。这就是著名的伯恩赛德定理。而W.费特、J.汤普森在20世纪60年代初期又证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想，奇数阶的群一定是可解群，因而有限非交换单群的阶必为偶数。
西洛性质 有限群理论中一个经典而重要的结果是著名的拉格朗日定理:有限群G的阶│G│等于G的子群H的阶│H│与 H在G内的指数│G:H│的乘积，即│G│=│H│·│G:H│。但是,并非对│G│的任何因数d,G一定有阶为d的子群。例如，四次交错群A4的阶为12,而A4没有6阶子群（见置换群）。当│G│的因数是pk形的数即一素数p的k次幂时,则G必有阶为pk的子群。这就是有名的西洛第一定理。若除尽│G│的p的最高次幂是pm，其中p是素数，m是自然数,则G的pm阶子群称为西洛p子群。所谓西洛第二定理，其意为：①G中任两个西洛p子群在G内是共轭的;②G中西洛p子群的个数N,必满足N呏1(modp),且为任一西洛p子群的正规化子在G内的指数;③G中凡是阶为pk的子群必为某西洛p子群的子群。进一步有关于有限可解群的西洛基定理:G为可解群的充分必要条件是G有一组西洛基S1，S2，...，Sr,使G=S1S2...Sr。所谓西洛基，是指当G的阶（素因数分解）时，G的一组西洛pi子群Si，i=1，2，...，r,且，使。可解群的西洛基往往不止一组，但是，可解群的任意两组西洛基S1,S2,...，Sr与p1，p2,...,Sr是等价的,即在G中必有元素g使。阶为素数幂的群,习惯上称为p群。西洛子群都是 p群。有限可解群可以表为 p群之积。西洛第一定理和第二定理统称为西洛定理。在有限可解群中可得到西洛定理推广的结果:有限群G为可解群的充分必要条件是，只要有分解│G│=mn,(m,n)=1，G就有阶为m的子群；当G是可解群时，凡是阶为m的子群必互为共轭,若m1│m,则G中凡是阶为m1的子群必为G中至少一个阶为m的子群的子群。这样的m阶子群，通常称为可解群G中的霍尔π子群。
所谓群的π 性质，意即西洛性质的推广。西洛性质是西洛定理的同义语, 即如果有限群G的阶|G|=g,h│g，(h,g/h)=1,h为素数幂,那么G至少有一个h阶子群,且任意两个h阶子群是共轭的,而G中凡是以h的因数为阶的子群，一定是G中某个h阶子群的子群。P.霍尔去掉上述条件中的"h为素数幂"而设"G是可解群"并得到了同样的结论。于是，根据P.霍尔的这一思想方法,将"h为素数幂"改为其他条件来进行探索的工作颇多。例如,"h为素数幂"改为"G包含一个h阶幂零子群"，仍得到相应的结论,即古典的西洛定理推广到含有h的一切素因数的集合π上所得的结果。
幂零群 当可解群 G的西洛基中诸西洛子群都是正规子群时,则可解群G称为幂零群。幂?闳菏强山馊褐械囊桓鲎永唷Ｓ邢奕?G为幂零群的充分必要条件是，G可表为p群的直积。p群自身当然是幂零群。除了这个充分必要条件外，还有几个互为等价的充分必要条件，其中最重要的是，G有上中心列或下中心列。所谓上中心列,是指G有长为m的子群列,使,且其中 Z1(G)为 G 的中心Z(G)，而递归地给出Zk+1(G)使 Zk+1(G)/Zk(G)是商群G/Zk(G)的中心。由G的限性可知，必有某自然数k使,因此当m≥k时, 恒有Zm(G)=Zk(G)。特别地,有某m使Zm(G)=G。所谓下中心列,是指G有长为n的子群列。设H、K是G的任意两个子集,[H,K]表示由形如 的元素所生成的G的子群，即[H,K]=<[h,k]│h∈H，k∈K>,于是[H,K]=[K,H]。当[x1,...,xn]定义后，再递归地定义。同样,对G的子集H1，...，Hn也作类似的定义，且当任意xi∈G(i=1,2，...，n)时，则定义,因此，且。易知。从G的有限性可知,有某自然数k使。因此当m≥k时恒有Km(G)=Kk(G)。特别地，有自然数 n使Kn+1(G)=1。有限群的上中心列和下中心列两者同时存在，且其长相等, 此时G必为幂零群，称为n类幂零群。因而，1类幂零群就是交换群。由此可知，幂零群是介于交换群与可解群之间的一类群。幂零群有下中心列，可解群则有换位群列。G为可解群的充分必要条件是，G有换位群列。所谓换位群列,是指G的子群列，式中为的换位子群，即，而n是某一正整数。此时G也称为n步可解群。1步可解群就是交换群。
p群 在有限群的研究中,p群具有重要的意义。互不同构的pn阶群究竟有多少个，是一个古老而艰难的问题。迄今只解决了当p为奇素数且n≤6时以及当p=2且n≤7时pn阶群的个数问题。关于p群方面的工作颇多,其中由P.霍尔发表的计数原理与正则 p群是奠基性的工作。所谓计数定理,例如,设｜G｜=pn,Sk(G)表示G中pk阶子群的个数，其中0≤k≤n。当Sk(G)=1(1
扩张 研究有限群的一个重要方法。设A、B是已知的两个群,如果作一群G,使得AG,且商群G/A≌B,那么群G称为B基于A的扩张。一般,B基于A的扩张不是惟一的，例如，A与B的直积A×B是B基于A的一个扩张,而A与B的半直积也是B基于A的扩张。所谓A与B的半直积为G，是指G=AB,AG，且A∩B=1（即B为A的补子群）。A与B的半直积又称为A的分离扩张。B基于A的扩张为 A与B的半直积的一个充分条件是：A的阶与B的阶互素。这就是著名的舒尔-扎森豪斯定理。当B为循环群时，很容易决定扩张的构造。例如,m阶循环群基于n阶循环群的扩张,必为G＝<α,b>,有定义关系αn=1，bm=αt,b-1αb=αr使满足rm呏1(mod n)及t(r-1)呏0(modn)。因为有限群有合成群列,这里，Gi/Gi+1是单群。因此，Gr-1是单群,且Gr-2是Gr-2/Gr-1基于Gr-1的扩张。若得知Gr-1的构造,则可借助于扩张理论得知Gr-2的构造,从Gr-2的构造以及Gr-3是Gr-3/Gr-2基于Gr-2的扩张可知Gr-3的构造,如此继续进行下去，则终究可得知G的构造。由此可见，研究单群与扩张理论是有限群研究的根本课题。
转移 研究有限群的一个重要方法。设 A是有限群G的任一个子群,将G表为A的右陪集的并集,即，于是│G:A│=n。令A┡=[A,A]，并作商群A/A┡，且用表以G关于A┡的右陪集为元素的集合,若令,则知的每一元素可惟一表为μ=αμi,即惟一决定数码i及交换群A/A┡的一个代表元素α,α∈A，因此，对G的每一元素g，有,式中(1g,2g,...,ng)为(1,2,...,n)的一个排列，且αi,g∈A。作矩阵Mg=(αi,g)使其第i行第ig列交叉处的元素为αi,g(i=1,2,...,n)，而其他处的元素均为0。易证。由此可知，映射g →Mg是G的一个同态映射，称为G的单项表示。因A/A┡是交换群，故可引进行列式,简记为。于是,映射也是G的同态映射,即G到A/A┡内的同态映射，称为G到子群A的转移。利用转移方法可得出许多重要结果。例如,有限群G的西洛p子群p若包含于其正规化子的中心之内,即，则有G=Np，N G,N∩p=1。这就是又一个著名的伯恩赛德定理。由此可知，阶为合数的单群只有两种可能：或为阶被12整除的单群或为阶被8整除的单群。
超可解群 它是介乎幂零群与可解群之间的一类有限群。所谓超可解群,是指有限群G有一个有限多个正规子群的递降列使每个商群Gi-1/Gi为循环群。因此，超可解群是可解群的特例,又是幂零群的推广。判断有限群G 为超可解群有许多等价的充分必要条件,其中常见的有：①G的每个极大子群的指数为素数;②G的主群列的商因子皆为素数阶的循环群；③G的每一子群H(≤G)都有一切可能阶的子群。
参考书目
W. Burnside,Theory of Groups of Finite Order, 2nd ed.,Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1911.
D.Gorenstein,Finite Groups, Harper and Row, New York, 1968.
B.Huppert, Endliche Gruppen,I,Springer-Verlag,Berlin, 1967.
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参考词条