补充资料：卷积型积分方程

卷积型积分方程
integral equation of convolution type

卷积型积分方程【加魄间闪娜七.ofc傲IVI汕浦.lty碑;“，Te印~oeyP二HeHHe THna cBeP~l 在卷积变换的积分号下包含未知函数的积分方程(见积分算子(访teg那1 oPelator)).卷积型积分方程的独特性是这种方程的核依赖于自变量的差.最简单的例子是方程 。(:)一丁、(。一:)，(:)d;一f(。)，一。<:<二， 一的(l)这里k和f是给定的函数而印是未知函数.设k，f〔L、(一的，的)且在同一类中寻求解.为了(l)可解，必要充分条件是 l一K(又)尹0，一的<又<田，(2)这里K是k的F砚时曰变换(Founer tmnsfonn).当(2)成立时，方程(l)在类Ll中有唯一的解，用公式 ，(x)一f(x)一丁、1(x一:)f(。)、:(3)表示，这里kl‘L;(一二，的)是由其FouJ交r变换 K.(几)=l一[l一‘(又)]一’唯一确定的.半直线上卷积型方程(Wk，er一HOPf方程(Wiener一HoPf闪Uation)) ，(:)一丁、(。一:)，(:)d:一f(:)，0‘。<。， 0 (4)在研究各种具有理论和实用特征的问题中产生(见【11，阱」). 设右边f和未知函数甲属于L，(0，的)(1毛p簇的)，核k6L，(一叨，co)且以劝“1一K(劝笋0，一的<又<的.(5) 函数“(对称为方程(4)的象征(s抑喊).方程(4) 的指标(访dex)是数 、一耐:一兴i己;arg。).。6) 一2兀J一‘一”‘、“，·、。少 如果K=0，则由方程 ，·K·(，卜exp卜告h·(;)· 二1「Ina(r、 士二二-甲见二二二二止止目d二 2二i几:一又一‘ 定义的函数K、，K一分别是函数k+，k_‘L，(一的， 的)的Fo~变换，使得对t<0，k、(t)=k_(一t) 二0.在上面的条件下，方程(4)有唯一解，它可以 用公式 ，(才)一f(‘，+丁厂(‘，:)，(:)d:(8) 0 表示，这里 r(t，;)”此十(t一:)+左一(t一;)+ +丁、+(:一:)、一(:一;)、:. 0如果K<0，方程(4)的所有解用公式 。(。)一厂(。)+*睿1·*:*一+ ·)一‘!，·，〔‘(·)·落，·*一〕‘·(9)给出，这里c*是任意常数， r。(t，;)二k望，(t一:)+介望’(r一;)+ +f、望，(:一:)k臼，(:一;)、:，(，o) 0且函数k(:)，人望’〔L，(一。，。)是由它们的FOuner变换: l+尺仁’(又)二fl+K;0，(又)l(又十i)‘(又一i)一“， (11) 1+K望)(又)= 一exp「一冬In。(*)*共了鱼立位工了. 一f LZ一、八’2:i丈:一又」’ ‘，，、_「，。，.、、「又一卜11‘ 。(、，一。，一K‘“，，L廿J唯一决定的. 当K<0时，对应于〔4)的齐次方程恰有)刻个线性无关解切，，…，叭、，它们在任何有界区间上是绝对连续函数;可以选取这些解，使得对k二l，…，}、卜1，职*，，(t)二势妥(t)，沪*(o)一o，而气.(o)笋0 如果K>O，这方程可解仅当以下条件成立: 丁.厂(:)*，(。)、:一。，、一1.…，‘，(，2) O这里价:，二，价‘是(4)的转置齐次方程: *(;)一J、(:一‘)*(:)碑:一。(，3) 0的一个线性无关解系.在这些条件下，这(唯一的)解由公式 ，(。)一f(‘)+了;、(:，:)f(:)“:(，4) 0给出，这里 r.(t，:)二k望’(t一:)+k(--0，(t一:)+ +丁、望，(‘一:，、:，(:一:)、:， 0而函数k华，(r)，kU，(t)6L，(一二，二)的Founer变换Kto)(对和K望’(劝由方程 r.‘.，‘、_。1.。‘〔，、，.、、「，+11“ l+、:，(、卜「，+K赚”‘“，’L令全幸」和方程(11)定义.对方程(4)，M又1」ler的定理成立(见奇异积分方程(5111邵har jntel笋d叫吸加n)). 方程(4)的理论中第一批有意义的结果在汇川中得到、其中为了解对应于(4)的齐次方程，给出了一个有效方法(所谓wi~一HoPf法(从金n口一HoPfmetllod))，该法要求假设核和所求解满足条件:对某对O<“分解(facto丘乙-tion of a filllction)的想法，即把h(劝表成积h尸一(劝·h*(对的可能性，其中h_，h，分别是半平面Im又一a上的全纯函数，且满足一定的附加要求.这些结果已经得到发展和增强(见汇41). 已经发展了一种把方程(4)化成线性识别的边值问题的方法.按这种方法，方程(4)在以下假设下己有解:k‘L、，2(一阅，的)，K6Lip。(一田，co)(0<:o)，当l几!一的，且1一K(劝尹O，一的<元<的· 除此之外，数耐(1一K(劝)在解(4)中的作用已经阐明.在较早的文章中，一个带形上的解析函数1一K(劝的零点的个数起着类似的作用. 为了N。改her的定理对方程(4)成立，条件(5)既是必要的又是充分的.上面给出的方程(4)的解在许多实际上重要的情形下可以简化.对特殊的右端已经得到了解的渐近法(见〔4】). 对方程(4)，当k砖乙，(一的，的)和核k(r)的Fo~变换K(劝有第一类间断点(见【5】)或是殆周期函数(司n幻st一伴力浏元丘川ct10n)(见【ZJ)的情况，也已作了研究.在这些情形下，条件(5)对Nbether定理的成立原来是不充分的. 上面列出的极大部分结果对型(4)的方程组的有效性也已经建立;然而，与单个方程的情形不同，卷积型积分方程组在一般情况下不能用求积法显式地求解(见[61). 也与卷积型积分方程有关的是成对方程(Pa示劝叫华币ons)(或对偶方程(dual闪uati0I巧” +区 ，(‘)一丁、:(‘一:)，(;)d;一、(￡)，亡>0， 一口(15) +‘布 ，(:)一了“2(:一:)，(下)d;一f(:)，:t给出，这里n是C’沿M到M’上的投影.象征是自伴的情形有特别的意义(见〔All」).更进一步的详情及更多的结果(也关于非典型Wiener一HoPf因式分解(non一canorucal Wiener一HoPf facto沈必tion))见【Al〕，【A2〕，【A7」和【A9〕.到某些非有理象征类的推广是可能的.对这些类，实现涉及无限维的，可能无界的算子(见〔A3〕，【A4」和【A9」).关于对迁移方程和抽象动力理论的应用，见「A2]，汇AS]和fA10);关于对H的控制理论(con赶。lthcory)的应用，见【A6 1. 亦见F代dl创比算子(Fredho如openltor).

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