补充资料：向量测度

向量测度
vector measure

导数(Radon一Nikod抑derivative)，即如果存在Q上的x值Bochner可积函数f，使得F(E)一孔fd。，那么T可表示为一个Ikdmer积分(Bochner inte-列):T。一I。。fd。(。。L，(，)).然而众所周知，一般来说，这样一个导数f是不存在的.如果对一个特殊的X以及任意的测度空间(0，艺，群)，每一个召连续X值的有界变差测度有Radon一N正od卯1导数，那么x称为具有Radon一N永ed”n性质(Radon-N水odytnproperty)(RNP).具有RNP的空间的例有:可分对偶空间(Dunford一Pettis定理(Dunford-Pettic theorem))和自反空l’ed，因此特别是Hilbert空间.空间c。(即零序列空间)以及L:【0，11没有R卜甲.对X来说，已经证明R刊P等价于X值秧(x一论lued~t恤甲les)的各种收敛性.实际上，这种鞍方法已导致具有RNP的空间各种纯几何特征(详见【All).如下例:X具有RNP，当且仅当对任一有界闭凸子集BC=X以及任一。>0，存在X中的一个闭超平面H，使得由H截B确定的半空间以及这些截口之一其直径<。(X是可凹的(dentable)).Kpe湘一M”MaH性质(Klein一Milrnan Pro详rty)指出，X的任一有界闭凸集是其诸端点的模闭包.如果一个压川ach空间具备RNP，那么它就具有Krein一Mik压in性质(J.LIlldenstrauss).关于对偶空间X’，这两种性质是等价的. 还可以提出问题:哪一些产连续x值测度是P以出积分(Pettis integral)而非BOchner积分，这就导致所谓弱Radon一N正od抑性质(weak Radon-N山劝ynl Property)(WRNP)(见【A61).向量测度[veefor~sure;。eK，opH胡Mepaj【补注】一个有限加性集函数(set fiulction)F，定义在集合0的子集族形成的一个域犷上，取值于一个确.由空间(助nachspace)X(或更一般地说，取值于一个拓扑向量空间).一个向量测度称为强加性的(stm叼y additlve)，如果对任一互不相交集列E。只犷，艺孔，F(E。)在x中收敛;而称为可数加性的(coun-tably additive)，如果当U篡.E。属于L‘时有艺篡，F(E。)一F(日篡，E。).若对任一、’。x’，:’F是可数加性的，则称F是弱可数加性的(wcakly coun-table addltive).定义在a域上的一个弱可数加性向量测度是可数加性的(Orlicz一Pettis定理(orliez一Pettistheo~)):F的变差(~ation)!F}是非负有限加J比的广义实值集函数，定义为 }Fl(E)=s叩艺}F(A)lI，E只、， 万月居旅这里的上确界是对把E分解为.犷的不相交元的一切有限划分而取的.如果}川(Q)<的，那么称F具有有界变差(bounded variation).}FI是可数加性的，当且仅当F是可数加性的.F的半变差(se而-var汤石on)1}川l定义为 }1 F41(E)二s叩{lx‘Fl(E):l}x’l]簇l}，E“、.JJFJ{是一个单调有限次加性集函数，且若”川}(O)<的，则称F具有有界半变差(bounded sen刀一varia-tion).因为等价地说，这就意味着F的值域是模有界的.这样的测度也称为有界的(boUnded)、有界变差的向量测度是强加性的，而强加性的向量测度是有界的.一个有界向量测度是强加性的，当且仅当其值域是相对弱紧的.特别是，一个可数加性向量测度具有相对弱紧的值域.设(F。)是定义在一a域E上和X值的可数加性向量测度列，且每个F。是拼连续的，即lim，(:，笼、F.(E)=o，其中#是一个非负广义实值测度.现在，如果对每一个E任艺，存在腼。一二F。(E)=F(E)，那么该群连续对。〔N是一致的，即lim，、:).。!凡.(E)=0对刀一致.因此F是召连续的.特别是，在拜是有限时就导致F是可数加性的.这就是Vitali一Hahn一Saks定理(vitali一Hahn一Sakstheorem).有关向量测度的另一个惊人的结果称为Njkod帅有界性定理(Niked”boundedness theo~):设有定义在6域艺上的有界向量测度族M，如果对任一E任艺，有sup:‘蒯}F(E)I1<的，那么M是一致有界的，即sup;二、，:〔:JIF(E)jl<田.此外，对著名的吉田一Hewitt以及Lebesgue的分解定理(decomposition theorems of Yosida一Hewitt alld of仕besgue)的强加性向量测度，也还有一些界说(见【A3」).最后，如果d皿X<的，那么a域上的非原子X值测度有紧凸域.这就是月只nyHoB定理(Lyd-punov theorem)，这在X是无穷维时结论不真. 向量测度的理论在其他泛函分析的领域有着重要的应用.首先在算子理论里，其中关于算子在某个函数空间上的表示问题，可以说是研究向量测度最初的动力.此后很久，在19世纪70年代，研究向量测度的微分问题，使在 Banach空间的几何里围绕所谓Radon一Nik浏”11)睦质(Radon一Nik Od”n property)获得一大批结果.下面，将对此后的发展，简要地介绍向量测度在控制论中所起的作用. 设Q是一个紧Hausdorff空间，C(Q)表示O上以上确界为其范数的连续函数空间，X是任一Ba-nach空间.若T:C(O)~x是一个有界线性算子，则T可表示为定义在0的BOrel集族的。域上，取值于X“的一个弱’可数加性向量测度F，这里X’‘是x的重对偶(见伴随空间(adjoint sPace)).当T是弱紧时，这一表示是特别符合条件的，因为此时F的值在X中，且是可数加性的(事实上，这些性质中任一个均等价于T是弱紧的)，从而，有Tf二孔.厂dF(joc(Q))，这里的积分多少有着明显的意义.此表示公式的一个直接推论是，T把弱紧集变为模紧集(e(。)具有Dllnford一Pettis性质(DUnford-Pettis pro详rty)).其他的算子类T:C(几)~X，如核算子，紧以及绝对求和算子，借助于它们的表示测度(见〔A3」)，容许有相同的良好特征. 现在，设T是一个从乙，(。，z，召)到Banach空间x的有界线性算子((Q，工，拼)是有限测度空间(measure sPace))，就存在一个明显的伴随于T的向量测度F:F(E)=T(溉)，EEz，而且F是拼连续的和有界变差的.如果F有一个Radon一N正od:卿

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