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1)  hyperreal number field
超实数域
1.
Two kinds of continuity of functions from hyperreal number field *R into *R;
超实数域R到R内的函数的两种连续性
2.
Topological structure of the hyperreal number field;
超实数域~*R的拓扑结构
2)  hyperreal number field R
超实数域R
1.
Notes on cardinal number of the hyperreal number field R;
关于超实数域R的基数的一些注记
3)  Hyperreal number field *R
超实数域~*R
4)  real number field
实数域
1.
In this paper,the power of a defective matrix in real number field is studied.
研究实数域上亏损矩阵的幂的算法。
2.
For constructed formula ①,and make integrand (formula) in complex field decompose into 2n times complexroots,and make real and imaginary part in real number field integrate and then obtain the limit,presenting constructed formula ②.
在实数域将其实虚部积分取极限获证。
3.
All of the subfields in M2(R) which contain the real number field R are constructed.
构造出了M2(R)中所有包含实数域的子域
5)  Real number field R
实数域 R
6)  transfinite real numbers
超实数
1.
From the rational numbers to the real numbers and from the real numbers to the transfinite real numbers, the transfinite cardinal numbers, combined numbers.
从有理数到实数,从实数到超实数,超限数以及联系数,数的概念的每一次扩充,都为数学提供了新的方法和新的理论,从而也开辟了新的研究领域。
补充资料:实数域

实数, 是一种能和数轴上的点有一对一的对应关系的数。本来实数只唤作数,後来引入的虚数概念,原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类,或正数,负数和零。实数集通常用字母r或<math> \bbb </math>表示。而用 rn 来代表 n 维实数空间 (n-dimensional real space)。

实数可以用来测量连续的量的。 实数是不可数的。 理论上,任何实数都可以用无限小数的方式表示,小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的,也可以是非循环的)。 在实际运用中,实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点後n位,n为正整数)。 在计算机领域,由于计算机只能存储有限的小数位数,实数经常用浮点数(floating point numbe)

历史

埃及人早在公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右,以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们就意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数,据说中国也曾发明负数,但稍晚于印度。 在1871年,德国数学家康托尔最早地全面地给出了实数的定义。

从有理数构作实数

实数可以不同方式从有理数(即分数)构作出来,详见实数之构作。

公理系统

如果 r 是所有实数的集合,则:

集合 r 是一个体: 可以作加、减、乘、除运算,且有如交换律,结合律等运算规律。

集合 r 是有序的:设 x, y 和 z 为实数,则:

若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z;

若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0.

集合 r 是完整的:设 r 的一个非空的子集合 s (<math>s \in r, s\ne\emptyset</math>), 如果 s 在r 内有上限,那幺 s 在 r 内有最小上限。

最後一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上限(1.5), 但是不存在有理数最小上限(<math>\sqrt2</math>)。

实数是唯一适合似上等特性的集合:亦即如有两个如此集合,则两者之间必存在代数学上所称的域同构,即代数学上两者可看作是相同的。

15 (整数)

2.121 (有限小数)

1.3333333... (无限循环小数)

3.1415926... (无限不循环小数)

<math>\sqrt3</math> (无理数)

<math>\frac1 3</math> (分数)

特性

完备性

实数集是拓扑完备的测度空间或一致空间,它有以下特性:

所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

有理数集并非拓扑完备,例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列却没有有理数极限。但它却有个实数极限 √2。实数集是有理数集的空备化——这亦是其中一个构作实数集的方法。

极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧基里德几何的直线没有“空隙”。

说明:补充资料仅用于学习参考,请勿用于其它任何用途。
参考词条