补充资料：张量积

张量积
tensor product

3)西个禅{夺A一l{a，，11与B的华早积(‘ensorProduct oft明matrices)或Kronecker积(Kronee-kerpreduct)是矩阵 }}“，.B二“_Bl} A凶B=日........····.……}I， }}a们，B…a。:。B}}这里，A是含一单位元的结合交换环k上的一个(mx。)矩阵，B是k上的一个(Pxq)矩阵，而A⑧B是人上的(m尸xn，)矩阵. 矩阵的张量积的性质是二 (A，十AZ)⑧B=A、⑧B十AZ⑧B， 注⑧(刀，+刀2)=通⑧刀，+月⑧BZ， 二(通⑧刀)=:注OB=注⑧“B，其‘l」“Ck， (A⑧B)(C⑧D)=AC⑧BD.如果m=。且p=q，则 det(A⑧B)二(detA)p(detB)”.令k是一个域，爪”八且p二q.则A⑧B相似于B⑧A，且det(A⑧E，一E。⑧B)，其中E、是单位矩阵，等同于A与B的特征多项式的结式. 如果::V~V’与厂评~w’均为有限生成自由k么模的同态，A与B是它们在特定基下的矩阵，那么A⑧B是同态仪⑧广V⑧评~训⑧W‘在由基向量的张量积所组成的基下的矩阵.l)含单位元的结合交换环A上两个么模V，与L。的张量积(tensor Pll刃uet oft明unitary xllodllles)是月模V:⑧，VZ连同一个A双线性映射 (x，，xZ)l，戈，⑧x:〔VJ⑧;VZ，该映射在以下意义上是泛的:对于任意A双线性映射月:V.XV:一评，这里评是任意A模，存在一个唯一的A线性映射b:V，⑧，VZ一W，使得 jj(‘.，，2)一l，(，，⑧xZ)，‘.〔叭，‘2〔岭·不计自然同构，该张量积是唯一确定的.张量积总是存在的，目可以这样构造:设F是由集合V.x VZ生少戊的自由A模，其月子模R由形如 (xl+y，灭:)一(xl，xZ)一(y，xZ)， (.、l，义:+:)一(关l，xZ)一(x.，:)， (c义，，戈2)一c(x，，xZ)， (x，，c义2)一e(义.，xZ)的元素生成，其中义.，y6VI，二2，:任VZ，c〔A;作F模R的商模，则，、l⑧xZ二(x.，xZ)+R，如果去掉月的交换性这一要求，那么类似于上面所描述的构造能够从一个右A模V.与一个左A模VZ产生一个A阅群叭⑧，F:，亦称为这两个禅的张量积戈[l]). 在一「文中总设定A是交换的. 张量积具有以下性质: A⑧月V兰V， V，⑧刁VZ里K⑧，V!， (V。⑧:VZ)⑧‘IV;兰V，⑧，(VZ⑧，V3)， 〔:不一」。，下一*(·，。刁w)，对于A上任意模V，F，w. 如果V，与VZ是自由A模，(x)，。，与(y，)，。，是FI与F:的基，那么(x‘⑧夕J)、‘，，。

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