补充资料：范畴(?)中的单纯对象

范畴(?)中的单纯对象
simpticial object in a category

　　范畴扩中的单纯对象仁应，咧山l峨沁t加aCal咤.ry、‘石e.M.洲双”匆肠.“面o以灯] 从范畴△到_了的一个反变函子X:△~扩(或等价地，一个共变函子X:△叩~留)，其中△的对象是有序集防J二{o，、，。}，。)o，态射是非减映射厂〔n1一‘〔m].共变函子X:△一，扩(或等价地，反变函子X二△叩‘扩)叫作留中的一个余单纯对象(co-slmPlieia】砌眼). △中的态射 占‘“占犷:t”一1]一In]，O簇i蕊n， 。，“。犷:【。+11一【。〕，0(i蕊。，其中 。:(j)一{，立，馨{;:，， fj若j续i， 么L，’一飞j一‘若j>‘，生成A的全部态射，这样，单纯对象X由X(〔nJ)“戈(n》0)(称为单纯对象万的n纤维(n币b心)或n分量(n一田比甲。讹nts))和态射d，=X钻，)二弋一‘戈_，以及s，二X(，、):戈”戈、‘(分别称为边缘算子(bol功dary Ope扭奴璐)和退化算子(山罗刀旧卿.。诊益乙。))确定.如果。·是有绪构函集合的范畴，元素茂通常称为x的刀维单形(n一di-~ion sin甲lices).映射咨‘和叮.满足关系 。，。。二。。。‘_、若i(*) 叮jo‘二弓‘d着i二J或i=j+l，1 L占卜，马右‘>少+’，〕且这些映射之间的任意关系是(*)的推论.这就是说，一个单纯对象X可以恒同于之中对象戈(。)0)以及态射d，:戈一戈_、和s。:戈一Xn十、(o簇i簇的的一个组{戈，d，，s，}，态射d，，、，满足关系式 d泣d，二d，一ld，，若ij+1.类似地，一个余单纯对象X可以恒同于对象尸(n)0)(摊余纤维(小co刁化心))和态射d’:尸一’~尸(O簇‘城”)(上边缘算子(c。一bo团a珍。拌以明))，和s’:X”+‘~妙，(0簇i簇陀)(上退化算子(eo一由罗1犯献yo伴rators))的一个组(Xn，d‘，s‘}，同样满足关系(*)(其中占，二夕，J*二犷)· 在(同一个范畴君中)单纯对象问的一个单纯映射(s扭lpli百al mapp吨)f:X一Y是从函子X二△~君到Y:△~罗的一个变换(态射)，即扩中的一族态射f。:X。一Y。(拄)o)，使得 试二+l=fnd，，o簇i簇。十l， si八=人十J‘，，o簇滚簇n.忿中的单纯对象和它们的单纯映射作成一个范畴，记作八”9. 范畴扩中两个单纯映射间的单纯同伦(simP万cialho伽toPy)h二f“g是罗中的一族态射人，:戈~Y。+.，O镬i簇n，使得 d。h。二九; d。h。=g。; f八，_，d‘若i<少， dh;二找d，h，一，若i二j>0， 七hjd卜1若‘>j+’; (h，+、s‘若i‘j， s，h，二破 之h，S卜、若i>j.在此定义的基础上，本质上说可以对任意范畴扩引出范畴么“g中通常的同伦理论.在集合或拓扑空间范畴的情况下，几何实现函子(见单纯集(sltrLPk闭set))将这一“单纯”理论转变为通常的理论. 单纯对象的例子有单纯集，单纯拓扑空间，单纯代数簇，单纯群，单纯Abel群，单纯咏代数和单纯光滑流形等等. 每一个单纯Abd群均可看作一个带有边缘算子d二艺(一1)‘d，的链复形.
　　

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