补充资料：二阶偏微分方程

二阶偏微分方程
fifferential equation, partial, of the second order

　　二阶偏徽分方程【成压，川回日甲.位翔，钾州目，of加胳目日份妇.;及.帅epe一朋.a几‘。oe ypa.二eH一ee，acT-aoM.n即一3.0月.“M一。Toporo nop朋二aj 至少包含未知函数u(x)的一个二阶导数而不包含更高阶导数的方程.例如，二阶线性方程具有下列形式: 夕。(x)掌玛业+夕，(x)夕州.十 ‘乒1”一ox‘。xz蔺’。x‘ +e(x)u(x)+f(x)=0，(l)这里点x，(x:，…，动属于某个区域。Cr，在其中实值函数a.j(x)，认(x)和。(x)有定义，在每一点xeo上，至少有一个系数ai)(x)不等于零.对于任何点凡任几存在自变量的非奇异变换亡=古(x)，使得方程(l)在新的坐标七=(七:，…，氛)中具有下列形式: 石.，，刁2“心.小，.，，、刁u 乞喝心务赞乙+之瓦(古)谁涪~+ :界1，‘’，口心‘刁七z’昌一’“”日着‘ +c’(七)。必+f‘(七)=0，(2)其中系数a:，(t)当玄有时在点乱二七卿上等于零，当卜j时等于土1或零.方程(2)称为方程(l)在点x0上的典范形式. 方程(2)中的系数弓(灼在点乱上取正值的个数k和取负值的个数l仅仅取决于方程(l)的系数内(x).因此，可将微分方程(l)分类如下.如果介=”或卜凡，则方程(l)在点凡上称为椭圆型的(幽ptic);如果k=n一1，卜1或者k=1，卜陀一1，则方程(l)称为双曲型的(h”姆It幻金);如果人+l=n，l0，则方程(l)在点凡上是椭圆型的;如果△闯<0，则方程(l)是双曲型的;如果△匈=0，则方程(l)是广义抛物型的. 一个方程在一个区域中称为椭圆型的，双曲型的，等等，如果它在这个区域的每个点上分别是椭圆型的，双曲型的，等等·例如，毛血。而方程州。十“。=0，当y>O时是椭圆型的，当y<0时是双曲型的，当y=0时是广义抛物型的. 在点凡上把方程(l)化为典范形式的变盆变换亡=心(x)依赖于这一点.如果有三个或更多个自变量，那么一般地说，不存在同时在这个点的某个邻域的一切点上把方程(l)化为典范形式，即形式 全全黔一艺典碧一+全、({)粤具十 自刁毋‘牟，灭l’昌一、”此， +c*均u(O+f’(亡)=0的非奇异变换.另一方面，在两个自变量的情况下(n=2)，可以对系数气(x)加上某些条件而把方程(l)化为典范形式;例如，函数aij(x)必须是二次连续可微的，方程(l)在点凡的某一邻域内是同一种类型的. 设 。(x，u，“:1，‘”，“x.，u二.二，，ux:、:，“’，“x，x.)=o(3)是一个二阶非线性方程，其中:二一。。/。xl，u二，二，=护川入‘气，并且设在实值函数。的定义域内的每一点上存在导数刁。/内二‘二j;此外，设条件 书「日。1，_ )lwe拼二一l铸0 :乍IL刁u:‘二，J’-成立、为了对形如(3)的非线性方程进行分类，需要确定这个方程的某个解u’(x)，并且考虑线性方程 夕。翩擎丝一。.(助 i仁1一ij四奴刁xj其中系数 日。} 日ux、l一(X)， 对于给定的解u’(x)，方程(3)在点‘上(或在一个区域中)称为椭圆型的，双曲型的，等等，如果方程(4)在这一点上(或在这个区域中)是椭圆型的，双曲型的，等等. 很广泛的一类物理间题都归结为解二阶微分方程.例如，见波动方程(认敬习e闪uation);电报方程(把峡卯ph闪m由n);热传导方程(廿‘m妞‘。nduc扭汉e叫业tion);T山”耐方程(Tric~闪旧石。n);加内理方程(比p场叨叫谬由n);Fb如皿方程(Po整吕o幻闪迢~由n);H幽过d。方程(Heln山o】tZ叫旧由n). A .K .ryll叨五撰【补注】亦见偏徽分方程(山氏代泊恤目叫旧石。n，parhal). 张鸿林译
　　

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