补充资料：Killing向量

Killing向量
Killing vector

Kiuil唱向且[到儿弓v仪奴妞;K“，，H皿raBeIC’r0p] 更确切地说，幻1址唱向量场(K川ing狱tor反ld)或无穷小运动(访丘血留imal仃幻tion).R元n犯Ln叮流形M上(局部)单参数运动群的速度场.更确切地说，M上向量场X称为幻Iljng向量场，如果它满足幻lhag方程(K川吨叫珑币助) Lxg=0，(*)其中Lx是沿X的价导数(LiederiVat1Ve)，g是M的R班”.团幻度且(Rien祖nnn犯tric).这种场最早被W.幻场ng(「11)系统地研究过，他也导出了它们的方程(.).在完全Rierr以nn流形上任何幻】】泊g向量场都是完全的(comPlete)，即它是一单参数运动群的速度场，M上所有幻U访g向量场的集合i(M)构成一个维数不超过”(n十l)/2的Lie代数，这里n二山n1M，并且仅当常曲率空间时这个维数等于n(n+1)/2.所有完全Kili吨向量场的集合构成i(M)的子代数，它是M上运动群的Lie代数.沿K正ing向量场方向的比导数不仅使度量g消失，而且也使一切由度量规范构造的场消失，如Ri日比以nn曲率张量、R记ci算子等，这使人们能建立K川1119向量场和曲率张量的性质之间的联系.例如，在凡“i算子的特征值均不相等的点，划ling向量场不可能消失.Ki1Ung向量场X作为余切丛T’M上的函数 X:T‘M日:~:(X)是T‘M上由Rierr必Im度量确定的(Harr亩ton)测地流的首次积分.类似地，M上一个反变对称张量场S称为幻】】角g张量场(Killing tensor fie】d)，如果与它对应的T’M上的函数(纤维上的多项式) S::~S(二，…，:)是测地流的首次积分.确定幻】ling张量场的方程也称为Kjlling方程(K曲ng闪Uation).作为T’M上的函数，所有Ki」ling张量场的集合，关于由T’M上标准辛结构定义的Poisson括号，构成一L记代数(一般是无限维的). 更一般地，设Q:Rep人M~附是流形M上的k阶几何对象，即M上k标架的流形到空间体的GL左(n)等变映射，这里R.(保持原点不变)的微分同胚在零点的k射流群GL“(n)作用在评上.M上向量场X称为对象Q的无穷小自同构(洲俪此in坦1auto叮幻rp恤m)或K川知g场(Killil堪6e】d)，如果M上对应的(局部)单参数变换群职，诱导了标架流形ReP众M的一个保持Q不变的变换群叫*):Q。叫k)=Q.确定对象Q的K曲ng场的方程称为球一划枷g方程(比一Ki灿ng闪uation)，而对应的算子称为疏算子(L七operator)(【6]).

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