补充资料：Wiener浑沌分解

Wiener浑沌分解
Wiener chaos decomposition

下万万习上的正交投影.令Ko*为瓦称丽)在万百灭万)中的正交补，这个空间即称为k次齐次浑沌(homo罗I长幻础chaos).空间LZ(Q)是KO*的Hilbert直和.此处LZ(。)允许一个浑沌分解(decom-p璐ition in chaos)，如果对于任何k，如下的映射是等距映射: 勺俪S*(万)。s*(v)。 。。.业。一二*(。)。尺。*二:2(。).这些等距映射l*(k一O，1，二)的集合是一个等距映射l，它的逆映射 :2(。)岁阮k(万)，、卜j(A7)扩张到O上的广义函数，乃是Q上广义函数演算的出发点.由于(A4)，f显然由下式给出: f(“)二二E【f。“」，(AS)其中。“二l一，(e“). 浑沌分解是由N .Wieller发现的(对Q为W记n-er空间的情形)(IAll).进一步的贡献则应归于ThA.Dwyer与1.Segal(IA21，[A3])，它们在构造性量子场论中是很重要的.K.伊藤获得了Poisson概率空间的浑沌分解，并把l*(f)解释为重随机积分.关于公式(AS)扩张到Gauss概率空间的广义函数，见「A5」，IA6」，IA7]，[A9」，IA]0].与Mal血vin演算的联系，见【A81. 更多的材料亦见【AllJ，【A12);从住改积(V汤Ckp仄心uCt)，白噪声分析(认币ite noise analysis)，及其中的参考文献.Wieuer浑沌分解1 Wie此r由姗d~娜i肠犯]【补注】设U为一可分Hilbert空间H的稠子空间.由单射i:U，H给定的三重组ucHCU’，是由等同H与其对偶，取i的对偶，再赋予U的代数对偶U‘以弱拓扑而得到的.对于任意实数又，令元H为以又乘H的范数而从H得到的Hilbert空间. 对称人重张量积S*(U)的对偶，是U上所有k次齐次多项式的空间Pol*(U).F*ePol*(U)在u任u处的值是F*(u)=*!.因此，对每个k，存在一三重组 S*(U)C=了百15*(H)〔Pol*(U).(AI)取内空间S*(U)的直和及中心空间的Hilbert和，得到一三重组 S(u)C Fbck(万)C= P61(u)，(A2)称为包装4均K空间(dressed Foek space).其中项是通常的巾OK空间(Fock sPace)， R)ck(H)=①夕厕S*(万).(A3)外空间是u上所有形式幂级数的空间fl*Pol*(u).F〔玛l(U)在“任U处的值F(u)定义为lim_艺之_，F*(。)，若此极限存在.例如，对任意F=艺F*。Fock(H)，有 F(u)=，(A4)其中。一艺(k!)一‘u阶. 一个概率化向量空间(脚加bi五zed vector space)是一个构造 (U二XOQ，尸)，(AS)其中U和X是两个对偶的空间，而X=sPan(Q)是由X的子集Q线性生成的.这个子集被赋予一几1-ish(或Cyc二HH)拓扑，使任一u〔U定义一0上的BOrel函数。(田)=<“，。

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