补充资料：随机矩阵

随机矩阵
stochastic matrix

随机矩阵[st叻as次matr议;eToxacT”，ee似M盯-P””a」 一个具有非负元素的方阵(可能是无限的)尸=扮p，}，其中 艺pl，=]，对一切j.一切n阶随机矩阵的集合是由n”个由零和1所构成的随机矩阵的集合的凸包.任意一个随机矩阵尸可以看成一个离散M即幼。链(Markov ehain)亡”(t)的转移概率的矩阵(rnatr认of transition pro加bilities). 随机矩阵的本征值的绝对值不超过1;1是任意随机矩阵的一个本征值.如果一个随机矩阵尸是不可分解的(Ma拌oB链别(t)有一类正状态)，则1是尸的一个单本征值(即它的重数是l);一般地说，本征值1的重数与MaPKoB链“(t)的正状态类的个数一致.如果一个随机矩阵尸不可分解，且Map-KoB链的正状态类有周期d，则P的一切本征值的集合，作为复平面的一个点集，通过旋转角度为2二/d的旋转映到自身上.当d一1时，随机矩阵尸和Map-K帕链七”(r)叫做非周期的(a详riodie). 有限阶的尸的对应于本征值1的左本征向量兀=泛:，;: 二，一艺兀p‘，，对一切J，(l)并且满足条件二，)0，艺，二，一1，定义Ma拌oB链心”(t)的平稳分布;在不可分解矩阵尸的情形，平稳分布是唯一的. 如果尸是一个有限阶不可分解非周期随机矩阵，则以下极限存在: 。叭p”一fl，(2)n是这样一个矩阵，它的所有行都与向量兀相同(亦见遍历MaP幼.链(Markov chain，ergodjc);对于无限随机矩阵P来说，方程组(l)可能没有满足条件艺，兀，<二的非零非负解;在这一情形fl是零矩阵).(2)中的收敛速度可以用一个其绝对值大于P的所有异于l的本征值的绝对值的任意指数p的几何级数来估计. 如果p=!}几，l是一个砚阶随机矩阵，那么它的任意一个本征值元都满足不等式(见〔3」): }、一。}城1一。，这里。一!翼，.几，·一切n阶随机矩阵的本征值的集合的并集M已被描述(见【41). 一个满足附加条件 艺F:，一1，对一切了的随机矩阵尸=}p，，{称为二重随机矩阵(doubly一sto-c址‘ticn飞以rix).n阶二重随机矩阵的集合是，，!个nl价置换矩阵(即由O和1组成的双随机矩阵)集合的凸包.具有一个二重随机矩阵尸的有限MapKoB链亡“(t)有一致平稳分布.【补注]给定一个具有非负元素的实;:xn矩阵A，提出这样的问题，什么时候有可逆正对角矩阵D，和DZ使得D IAD:是一个二重随机矩阵，并且D.和DZ唯一确定到什么程度.这样的定理称为DAD定理(DAD一theoreTns).在电信和统计中对此感兴趣(【A3」一〔AS]). 一个矩阵A是全不可分解的(仙ly indeComPo-sable)，如果不存在置换矩阵尸，Q，使得 PA口一厂‘1“、. 一\B AZ/一个1 xl矩阵是全不可分解的，如果它不是零矩阵. 于是对于一个非负方阵A来说，存在正对角矩阵D.和DZ使得D，A DZ是二重随机矩阵，当且仅当存在置换矩阵尸和Q使得PAQ是全不可分解矩阵的直和(〔Al」，〔A2]).

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