补充资料：椭圆曲线

椭圆曲线
effiptic curve

一上工丛上星兰一 l一(叮刊一A)Q一‘+叮’一，’对于某个虚二次域(或Q)里的模为而的任何代数整数“，可以找到k上椭圆曲线X，使得X(k)的阶是q+l一仁+万). 设k是p进数域Q，或它的有限代数扩张，B是k的整数环，x是k上椭圆曲线，且设X(k)非空.群结构使得X(k)成为一维交换紧p进价群(Liegro叩，P-目止).群X(k)是We.一O后侧以群(V几n一C帕telet脚即)从℃(k，X)的noHlp~对偶.如果j(X)哄B，则X是一条1妞忱曲线(见【1]，[5」)，且与C的情形类似，存在X(k)的典范单值化 设X是Q上椭圆曲线，且X(Q)非空，则X双正则同构于曲线(l)，其中“，b6Z，在所有具有整系数a和b的、与X同构的形如(l)的曲线中，可以选取一条使得其判别式△的绝对值最小.X的前导子N与L函数L(X，s)被定义为局部因子的形式积: N一n几，L(X，s)一flL，(X，s)，(2)这里p取遍所有素数(见[l]，[5]，[13])·这里几是夕的某个幂，乌(X，“)是复变量，的亚纯函数，它在“=1处既无零点亦无极点.为了确定局部因子，人们考虑X的模p约化(p尹2，3)，这是剩余类域z/(P)上的一条平面射影曲线戈，在仿射坐标系内由方程 夕，=x’+万x+万(万三a 1llcKI夕，石二石】班记夕)给出·设A，是戈上的z/(P)点的个数·如果p不能整除△，则苏是z/(力上的椭圆曲线，可令 几一’，“，(x，’)一下石万石不不甲下如果p整除△，则多项式护干万义十石有重根，可令 :。(戈、)一下丫男-，了。一，，或， 一一一l一(p+l一A，)p一’(根据它是三重或二重根而定).乘积(2)在右半平面Res>3/2内收敛.人们猜想L(X，s)可扩张为整个复平面的亚纯函数，并且函数 七x(s)=N‘/，(2二)一‘r(s)L(X，s)(这里r(s)是r函数(罗m仃以丘川ct幻n))满足函数方程七x(s)二w七x(2一s)，w=士l(见【5」，【3】).对于具有复乘法的椭圆曲线，这个猜想已被证明. 群X(Q)同构于FOX(Q)，，这里X(Q)。是有限A忱1群，F是有某有限秩r的自由Abel群.X(Q)，同构于以下15个群之一(见【111):Z/mZ，1(爪毛10或。=12，以及(Z/22)x(Z/vZ)，1簇v延4.数r称为Q上椭圆曲线的秩(mnk ofthe翻pticc~)或称为它的Q秩(Q一mnk).秩)12的Q上椭圆曲线的例子已经知道.人们猜想(见111，【131)Q上具有任意大小的秩的椭圆曲线都存在. 在研究x(Q)时使用T Ta让高石:x(Q)~R+，这是X(Q)上的非负定二次型(见【l」，【3}，【8」，亦见高(口砷抽皿旧几何中的)(址ight，in肠ophantine罗-。

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