补充资料：多项式的极值性质

多项式的极值性质
extremal properties of polynomials

多项式的极值性质【ex加翔目户脾比鹿of州州蒯比;，二eTpeMa几妞。e eoo面e，no月。.oMo。】 代数、三角或广义多项式的一些性质，使得它们是某些极值问题的解. 例如，在所有首系数为2”~’的n次代数多项式中叮e6olue.多项式(Cbeb娜11ev POlyt1Oln妞】s)云(x)二cos(。眼cosx)二2”一’x”十…在空间C(I一l，ID中有最小范数(fl.JI.tle玩皿eB，1853);因此它们是下列极值问题的解: ~}2凡一，扩十al扩一’+.二十气}~inf x‘[一】，IJa书(a]，.入) 换言之，在所有首系数等于分一’的”次多项式中多项式双在空间C(卜l，11)中与零相差最小. 多项式空间中极值问题主要在空间乌([a，bl)(l簇p(的)中来研究.在这方面，大多数现有的结果与P=1，2和的情形有关(C的度量).特别这些度量被用于寻求与零相差最小的多项式的显式.在L;度量下它们是第二类qe6bnueB多项式，在几度量下则得到I魂娜触多项式(丘孚仙℃polyno面眺);关于C度量见上述结果.在加权乓空间中与零相差最小的经典正交多项式集(1月gI~多项式(城孵讹polyllO找山山);H台倒血多项式(F比n刀i坦加蜘阳而比);J幽仪肠多项式口扭。bi polyl幻住山LIs))也已被描述. E.H.加月。班详习(187乃考虑了下述问题:在C度量下确定与零相差最小的形如x”+ax”一‘+aZx一，+…+a。(首两个系数固定)的多项式，他找到了解决这个问题的单参数多项式族且用椭圆函数来表示它们. He玩n”eB多项式是关于导数不等式问题的极值;即精确的M.p即。不等式(Mark0vin(闷班止ty)(其中只是一个次数簇n的多项式) }】砂，J}。(、一，，，，，簇}冲，(l)}·1}尺}l。(，一，，;:)(*)成立，对双等式成立.对k二l，不等式(‘)是B.A.MaPKoB证明的(1889)，而对k的所有其他值是BAMa伴oB证明的(1892).关于三角多项式情形的类似不等式见Ee四山Te‘.不等式(价n‘tein饥闺珑山ty). 在一致度量下代数与三角多项式的某些极值性质适用于qe反班leB函数系(见【2]).有关多项式的极值问题与极值性质的理论见【61.

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