补充资料：迭代法的连续模拟

迭代法的连续模拟
ontinuous analogues of iteration methods

　　迭代法的连续模拟[阴柱nu侃s姐al鳍ues ofite口ti佣me山团s;峨网阵饰皿肠配别拙U皿”姗pal月.山皿‘仪Melu汉取旧] 一种连续模型，使得研究非线性方程解的存在性问题，借助完善的连续分析上具提出关于迭代法的收敛性和最优性的初步结果，得到这些方法新的类别等成为可能· 可以通过调节(见调节法(ad，ustll〕elltxneth以i))建亿解定常问题的方法与某些迭代法(见{1].【2])之间的对应关系.例如对终有正定自伴算子A的线性方程 」u二厂、(l)的解，知道形如 土犷止止上_立二二一，而、一自_。(。二。‘，、 介巾(u，又)=0，(10)使得对又=O，(10)的解:u(0)=u0是已知的，以及对又=1，(9)和(10)的解是相同的.例如，可以取 中(u，又)=中(u)一(l一、)中(uo).(11) 通过关于参数微分(10)式，并取u=u(劝，得到关于u(幻的微分方程;对于情形(11)，它是 粤一，，(u)一，，(u“).‘，2、 d又‘、一’产‘、一厂、;‘， 用点列而=O<又.<…<又。=1将区间[0，l]分成n部分，并对(12)在点又*利用数值离散公式(如Euler法，Runge一Kutta法等)，得到量u‘=u以*)之间的递推关系，利用它来构造迭代法的公式.于是，在应用Euler法后，(12)用关系式 uk二uk一’一故、势，(uk一l)一l势(uo)(13)替代，这里八又*=又厂又*一1，确定了包含内外迭代循环的如下二步迭代法: u公=u轰-一△又k甲‘(u各一)一L中(u乞)，(14) k=l，…，n;u乙=少台一’，i=l，2，…，us=uo. 对酥，=1和。=1，这就变为经典的Newton法.New-ton迭代法的连续模拟还可以用另外的方式得到:在(11)中，用又=1一e一‘代替变量.这时微分方程(12)取如下形式: du一，、一’ 于=毋(u)一’价(u)，u(0)=uU.(15、 dt、一产节、~产，叭叮“、且J，在点气应用Euler法，(15)式的数值积分导出迭代法 uk=uk一I一么tk一1毋’(uk一l)一l毋(uk一l)，当犷一’=1时它与经典Newton法相一致. 对数学物理的微分方程边值问题解的迭代法的连续模拟，一般来说，是特殊形式偏微分方程的混合问题(如具有快速振荡系数，或在最高导数前具有小系数). 也见算法的闭包(cl倪ure of a com putationala】即-rithm).的一步迭代法，当几>O充分小时收敛引进连续时间了、将量矿看作某函数。(t)在t一气的值，这里l(。二0<与<一<几<…权一。笑，当人、笑时，如果设:一风气)(t‘一t、)，对t)o.p(t)>O足连续函数，当A气二t、十1一tk，0时在‘2)中取极限，得到迭代法 (2)的连续模拟: du，、，月，、一、丫、一 竿二一阿t又A“一j)‘“(())二‘，.‘3、 dt”‘“’、‘、J’如果当t二刀时 了P(t)“‘/沁 才j贝jju(t)趋万fu(功).它是(l)的一卜解， 类似地，对函数F(u)极小化用一步梯度迭代法: 。‘”二u‘一丁、gradF(u‘)，u‘，二;(4)可联系到连续模拟; du 访=一洲‘)gradF(u)，“(0)兰‘，·(5)这里函数户(t)仅影响最速卜降曲线的参数化.为了求解(l)，可以设厂O砚)=(Au，u)一2“时.这时公式(幻取形式(2)，方程(5)取形式拐)， 借助变换，_步迭代法 :才‘’二u‘一。、(Au‘一_f)一召、(。人一u‘’)(6) 可变成形式 }。‘，一。‘。‘一“‘，} 2一—一-一一一一-公一+(/) Z人、;一了众} u人一l一u人} 一十Y‘二言二方一厂~+脚“‘二二一p“““‘一了)·这里量下、.八、，八和气依据(6)的参数，、和方、(1卜唯一地)确定.当△t、一O时在(7)中取极限，导出连续模拟: dZ“、血 访十y(‘)蓄丰风‘’u二一”(‘)(川“一/，·(8。包含方程如(8)的调整法称为重球法(method叮thehea即sphere)(见12})存在迭代法，其连续模拟包含更高阶的微分算子(见【3」) 得到在迭代法中起连续模拟作用的微分方程的来源可能是连续方法(印ntinuation methed)(关于l一个参数)(见!4!【5]).在这个方法中，为了求方一程 叨(u)置0(9)的解，构造一个依赖于参数人的方程
　　

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