补充资料：贝尔函数

    　　在研究函数的连续性基础上产生的一类重要的函数。R.L.贝尔于1899年提出如下的函数分类方法：以区间[0,1]上的函数为例,[0,1]上的连续函数称为0类函数。0类函数序列点点收敛的极限函数，当它不是0类函数时,就称为1类函数。1类函数序列点点收敛的极限函数，如果不是0类或1类的函数时,便称为2类函数。依次对每一个自然数n，可以引入n类函数的概念。如果{??_υ}，v=1,2,...,??_υ是n_υ类函数,{n_υ}是自然数列的子序列,{??υ}点点收敛于??(x)，当??(x)不是任何n类函数(n是自然数),称??(x)是ω类函数。如此再继续定义ω+1，ω+2，...类函数。用超限归纳法对一切序数η，都可以定义η类函数。 所有这些类的函数统称为贝尔函数，而贝尔函数的全体称为贝尔函数类。[0，1]上的狄利克雷函数D（x）（它在有理点上取值为1，无理点上取值为零）不是1类函数，但,所以D(x)是2类函数。可以证明,当序数α<α₁（α₁是第一个不可列的序数）时,α类是不空的,但α₁类是空集。另外,贝尔函数类的势（或基数）与[0,1]的势相等。但[0,1]上所有实函数的势大于[0,1]的势。因此定义在[0,1]上的函数中有很多不是贝尔函数。贝尔函数类的另一等价的定义是：包含连续函数全体且对点点收敛的极限运算封闭的最小函数类。
　　
　　类似地,在n维空间与一般的拓扑空间也可引入贝尔函数类。
　　
　　波莱尔集 　深入讨论函数的连续性、可微性、可积性时必不可少的重要集类。设G、F分别表示 n维欧几里得空间Rⁿ中开集、闭集全体。凡是能表示成G（或F）中一列集{A_n}的交 (或和)的集的全体记为G_δ（或F_σ）。凡能表示成G_δ（或F_σ）中一列集{A_n} 的和（或交）的集的全体记为G_δσ(或F_σδ)，如此又继续可以定义出新的集类G_δσδ、F_σδσ,...。同贝尔函数类一样，对一切序数可用超限归纳法来依次定义新的集类。同样可以证明：当序数α<α₁时，上述定义能产生新类型的集，而从α₁开始就不再产生新类型集了。由上述方式得到的每个集称为Rⁿ上的波莱尔集。波莱尔集全体称为 Rⁿ上波莱尔集类(也称波莱尔域)，记为B(Rⁿ)。波莱尔集类还有几种等价的定义:B(Rⁿ)是包含Rⁿ中一切有限"立方体"的最小σ环；B(Rⁿ)是包含Rⁿ中一切开集的最小σ环；B( Rⁿ)是包含Rⁿ中一切闭集的最小σ环。（见测度论）
　　
　　在一般拓扑空间中可类似地引入波莱尔集类。
　　
　　贝尔函数与波莱尔可测函数 　设??是拓扑空间Χ上的实函数，如果对任何实数с,集｛x│??(x)<с｝是波莱尔集,则称??是Χ上的波莱尔可测函数。Χ上的贝尔函数都是Χ上的波莱尔可测函数。同样，设E是Χ的子集,如果E的特征函数I_E(即在E上值为1,E的余集上值为0的函数)是Χ上的贝尔函数，则称E是贝尔集。贝尔集都是波莱尔集。当Χ=Rⁿ时，波莱尔可测函数（波莱尔可测集）都是贝尔函数（贝尔集）。
　　
　　解析集 　深入研究直线上波莱尔集与勒贝格可测集的关系时发现的重要集类，它们在近代随机过程中有广泛的应用。设(Ω,F)是可测空间,E为紧的度量空间,记K(E)×F={A×F是E中的紧集,F∈F},(K(E)×F)_σδ是K(E)×F中的集作可列和后再进行可列交的运算而得到的集类。设B∈(K(E)×F)_σδ,称B在Ω上的投影Ⅱ(B)为Ω中的F解析集。它们的全体记为φ(F)。若用P表示(Ω,F)上的概率测度全体,F^p(p∈P)表示F用p作完全化扩张而得到的σ代数,则利用乔格的容度理论可证明。
　　
　　特别，当E=Rⁿ，n=1,2...，Ω=[0,1]，F=B[0,1]时,EX[0,1]上的波莱尔集在[0,1]上的投影是解析集,并且φ(F)是[0,1]上勒贝格可测集类的真子集。
　　

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