补充资料：闭映射

闭映射
dosed mapping

y‘Y的集合是。离散的.【补注】闭映射的概念可引出空间的上半连续分解(uPper semi一continuous de00刀。详招ition of a sPace)的概念，这就是空间X的分解E，它使得商映射q:X~X/E是闭的. 在俄文文献里，!A]表示集合A的闭包，所以在这一条目里，!f一1川盯是在空间肛中纤维f一y的闭包(亦见集合的闭包(d沉ure ofaset)).闭映射[d.犯d mappi叱:3a袱。yToe OT06pa‘e姗e] 一个拓扑空间到另一个拓扑空间的映射，使得每个闭集的象仍是闭集.连续闭映射类在一般拓扑学及其应用中起着重要的作用.连续闭紧映射称为完满映射(perfe以maPPing).不空间上的连续映射f:X~Y(f(X)=Y)是闭的，当且仅当在内艺耽班网四B意义下(上连续)分解{f一’y:y“Y}是连续的，或者对X中每个开集U，集合f枉{y“y:f一’yeu}是U中开集.后一个性质是上半连续(u pper semi一continuous)多值映射定义的基础.也就是说了是闭的，当且仅当它的(多值)逆映射是上连续的.Hausdorff紧统到Hausdo盯空间上的任何连续映射是闭的.不空间上的任何连续闭映射是商映射;反之不成立.平面到直线上的正交投影是连续的开的，但不是闭的.类似地，并不是每个连续闭映射都是开的.如果f:X~Y是连续的并且是闭的，X，Y完全正则，那么，对任何点y“Y，了一’y=叮注川刀X.这里口x是s加e一亡曲紧化(stone一亡ech comPaC断-cation)，了甲X~刀Y是这个映射到X和Y的stone一八ch紧化上的连续扩张;在正规空间类里，其逆也是正确的.在连续闭映射之下，象保持了下述拓扑性质:正规性;族状正规性;完全正规性;仿紧性;弱仿紧性.而完全正则性和强仿紧性在连续闭映射—甚至在完满映射-—之下未必保持.在连续闭映射下，前象未必保持上述性质.关于这一点需要说明:在连续闭映射之下，点的前象未必是紧的，尽管在很多情况下，连续闭映射和完满映射之间只有很小的差别.如果f是度量空间X到满足第一可数性公理的空间Y上的连续闭映射，那么y是可度量化的，并且对每个y任Y，前象f勺的边界是紧的.如果f是度量空间X到不空间Y上的连续闭映射，那么，使得f一净非紧的所有点

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