补充资料：射影测度

    　　1853年E.N.拉盖尔将角度的度量概念与交比的射影性质联系起来，是利用射影几何学的观点解释角度的一个重要尝试。1859年A.凯莱将拉盖尔思想进一步发挥，得到角的射影测度的概念。首先，将拉盖尔公式中的一对圆点,看作是变态(退化)的二级曲线,并以常态（非退化）二级曲线来代替。于是作了如下的推广：在射影平面内，先选定一个常态二级曲线及一个任意常数 k(k≠0),再过任意给定的两条直线α与b的交点,作二级曲线的两条切线t₁与t₂，并规定了一个函数(α,b；t₁,t₂)，显然这个函数对任意给定的两直线α,b,其交点α×b及过交点的两条切线t₁，t₂都是确定的,从而kln(α,b;t₁,t₂)除了一个符号外,也被确定。而且函数φ(α,b)满足以下条件:，这里α、b、с 是共点的三条直线。 而这些条件正是欧氏几何中二条直线所成角度应当满足的，因此将 叫做两直线α，b所成角的射影测度,预先取定的二级曲线叫做这个测度的绝对形，而k叫做测度系数。
　　
　　有了角的射影测度，可对偶地建立另一种形式的测度：取定一条常态二阶曲线及一个非零的任意常数k,连结任意给定的两点A,B,设直线A×B与二阶曲线交于两点T₁及T₂，且规定函数d(A,B)=kln（A,B;T₁;T₂）,显然它是A,B的函数,且满足欧氏几何中两点间有向距离的条件：d(A,A)=0,d(B,A)=-d(A,B),d(A,B)+d(B,C)=d(A,C),这里A,B,C是共线的三点。因此将函数d(A,B)=kln(A,B;T₁,T₂)，叫做A,B两点间的有向距离，因为它是利用射影概念交比定义的，所以又叫做距离的射影测度。预先给定的二阶曲线叫做测度的绝对形,k叫做测度系数。若已知常态二阶曲线的方程是
　　
　　
　　二已知点A,B的坐标分别是(α₁,α₂,α₃),b₁,b₂,b₃,A、B联线上任意一点的坐标可写作将其代入二阶曲线方程中,得到关于λ的一个二次方程,它的两个根分别以λ₁及λ₂表示，则T ₁及T ₂的坐标为,再利用交比的性质：可得到d(A,B)的解析表达式。关于φ(α,b的解析表达式可利用完全相同的方法得出。上面以二次曲线（二阶与二级）为绝对形,规定了射影测度的概念。应该指出,确定距离的射影测度的绝对形即常态二阶曲线，其切线的集合构成了用以确定角的射影测度的绝对形即常态二级曲线。由于二次曲线有实虚之分，取实虚不同的二次曲线作绝对形，这样就构成了与欧氏几何完全不同的非欧几何（罗氏几何和黎曼几何）的模型（见非欧几里得几何学）。1871年F.克莱因首先发明使用射影测度来说明非欧几何。简单来说，他在复射影平面上的实绝对形内部，规定了一些具体概念，定义射影测度后，作成了一个罗氏几何的射影模型即克莱因模型,在这个模型里,罗氏几何的全部公理都能够得到解释，因而罗氏几何的全部概念和定理都能在模型中体现出来。
　　
　　

参考书目
　　　孙泽瀛编：《近世几何学》，高等教育出版社，北京，1959。
　　

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