补充资料：Killing型

Killing型


KOI如嗯型[K亚飞肠叨1;心朋IIHra中oPM“〕 由W.K」」1」119(【11)引人的有限维价代数(Liea】罗bra)上的一种特定的双线性型.设已是域k上的一个有限维Lie代数.。上Ki】ling型指双线性型 B(x，y)=tr(adx·ady)，x，yE必，其中tr表示一个线性算子的迹，adx是x在必上的伴随表示(亦见L记群的伴随表示(adjointreP岛enia-tion of aLie脚up))下的象，即由规则z~〔x，z」确定的。上的线性算子，其中[，」是L记代数必的换位算子.K川ing型是对称的.算子adx(x任。)对于Killing型是斜对称的，即B(lx，夕1，z)=B(x，【夕，21)，对所有x，夕，:任6.如果必。是必的一个理想，那么该Kjlling型在。。上的限制是必。的K面ng型.每个交换的理想心。都包含在Kil】ing型的核中.如果K川jng型是非退化的，则硫代数必是半单的(见价代数(Liealge-bra)，半单(sen”一s】mPle)). 设域k的特征为0.则必的导代数已‘=【必，G]相对于幻】】泊g型的正交补恰为必的根.代数必是可解的(见可解价代数(疏al罗腼，s01Vable))，当且仅当份土6‘，也就是对所有x，y，:任已，B(〔x，y]，约=O(〔为找朋可解性判别准则(O『比nso】姐bilitycri把rion)).如果份是幂零的(见幂零Ue代数(Lieal罗bm，nilpotent))，则对所有x，y任0，B(x，夕)二0.代数0是半单的，当且仅当其Kjl】ing型是非退化的(el川刁n半单性判别准则(〔达由们~一slmPh-city eriterion)). 每个复半单L记代数都包含一个实型r(紧V几yl型，见Lie代数的复化(c omPle元币cation ofa玩目罗-bra))，幻lling型在其上是负定的.【编者注】K川ing型是特征为0的域k上半单L记代数K川ing一Ca到力n分类的关键性工具.如果chark笋0，半单Lie代数上的Kj」】jllg型可能是退化的. Killing型也称为Cartan一刃uing掣(C~一幻川ngform). 设X，，…，X。是Lie代数L，的一个基，对应的结构常数是，急，从而IX‘，X，]一艺卜，，急X*(求和约定).那么，KU如g型可用这些结构常数给出 刀(x。，x，)一。。、二:匕。，息d·度量(张量)。。。称为C~字早(C~nr仃记)，常见于理论物理的文献中.利用g。。可以降低指标(见向且空间上的张最(tel巧or ona认戈torsPace))以得到“结构常数”下。。。=gJ。弓。，在它们的指标上是完全反对称的(这是Jacobi恒等式的一个直接推论且等价于算子ady关于B(x，:)的反对称性;参考文中所述).

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