补充资料：局部拓扑群

局部拓扑群
local topdogical group

局部拓扑群【】仪川加州嗜回歹以甲;加n几研明功邢加-rN叹ecKa皿印yUna」 一个拓扑群(toPological脚uP)，在其中群运算仅对足够接近单位元的元素有定义.局部拓扑群的引人是受了对拓扑群局部结构(即在单位元的任意小邻域内的结构，见【11)的研究的启发.局部拓扑群的确切定义如下. 令G是一个拓扑空间，e是G的一个元素，O和O分别是G和G xG的开子集，e‘0，又令iO~G和m:n~G是连续映射.如果下列条件被满足，就称系统(G，。，O，Q，i，m)是一个局部拓扑群: l)对于任意g任G，(e，g)和(夕，e)‘几目m((e，g))=水((夕，e))=g; 2)如果夕，h，r‘G且(夕，h)，(h，r)，((夕h)，t)，(g，(h，r))EO，则m((m((g，h))，t))=m((g，水((h，r)))); 3)对于任意夕任O，(夕，i(g))和(i(g)，g)‘贝且m((g，i(g)))=m((i(夕)，夕))=e. 局部拓扑群(G，。，0，Q，i，m)常简记作G元素m((g，h))记作夕h并且称为g与h的积(product);元素i(妇记作g一’并且称为g的逆元(inv~);元素e称为G的单位元(identity)如果(g，h)〔O，就说积gh被定义;如果g‘0，就说对g定义了逆元. G上这些运算(不是对所有元素都定义的)在一单位元e的一个任意邻域内诱导出一个局部拓扑群结构.令G，和G:是两个局部拓扑群.G，到G:内的局部同态(local homorr旧rphism)是G，的单位元C.的一个邻域U!到GZ的单位元e:的一个邻域U、内的连续映射f，使得f(e，)=。2，并且对于任意元素g，h〔Ul，它们的积在G，中有定义，元素f(g)，f(h)的积在GZ中也有定义且f(gh)=f(g)f(h)G，到GZ内两个局部同态说成是等价的(闪山词ent、.如果它们在G、的单位元的某个邻域内一致.假设局部同态f是邻域Ut与U:间的一个同胚(ho~二rphism)并且逆映射f一’:U:~U，是GZ到G的一个局部同态，则称f是G】到G:的一个局部同构(focalis。伽rPhism).如果两个局部拓扑群之间有一个局部同构，那么就称它们是局部同构的(localbisolnorphic).例如，任意局部拓扑群都与它的单位元的任意邻域是局部同构的.作为局部拓扑群的例子可以取任意拓扑群(从而可以取它的单位元的任意邻域).在局部拓扑群理论中主要问题就是这个例子的性质能够作多大程度的推广;就是说，是否任意局部拓扑群都与某个拓扑群局部同构.在一般情形下，答案是否定的(见【41)，然而在有限维局部比群(Lieg旧uP，local)这个重要的特殊情形中，答案是肯定的. 如同在拓扑群论中一样，在局部拓扑群理论中也可以定义(局部)子群，正规子群，陪集，以及商群.例如，令(G，e，0，Q，i，m)是一个局部拓扑群，令H是G的一个包含e的子集，并且在e在G中一个邻域U内，集合U门H是闭的.又假设对于任意g任H自。，元素i(妇属于H并且集合 。二二{(。，h)“。自(H xH):m((。，h))“H}在H xH中是开的(在H带有由G所诱导的拓扑的假定下).那么系统 {万，。，。自万，。。，11，，，叫。“}是一个局部拓扑群，叫做G的一个局部子群(focalsubgrouP).关于正规子群，关于子群的陪集以及商群的定义见【1].

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