1) Hermite polynomials
厄米特多项式
1.
All ordinary polynomials have series expansion of orthogonal polynomials,while Legendre polynomials,Hermite polynomials and Laguerre polynomials are special orthogonal polynomials.
一般多项式都可以展开为正交多项式的级数形式,而勒让德多项式、厄米特多项式和拉盖尔多项式都是典型的正交多项式。
2) Hermite polynomials
厄尔米特多项式
3) Hermite polynomial
厄米多项式
1.
A projection pursuit regression model for synthetic earthquake prediction based on particle swarm optimization and Hermite polynomial fitting
基于粒子群优化算法与厄米多项式构建地震综合预测投影寻踪回归模型
2.
Discussing on the recurrence relation of the Hermite polynomial also
也谈厄米多项式的递推关系
3.
A method to compute the zeroes of the high-degree Legendre,Laguerre and Hermite polynomials,which are the nodes of Gauss-Legendre,Gauss-Laguerre and Gauss-Hermite Quadrature,respectively,is studied,and a very efficient algorithm scan-iteration method(SIM) is given.
研究了高次勒让德、拉盖尔和厄米多项式的零点,即高斯-勒让德、高斯-拉盖尔、高斯-厄米积分的节点的计算方法,给出了一种有效的高精度数值算法——搜索迭代方法(scan-iteration method,SIM)。
4) two-variable Hermite polynomials
双模厄米特多项式
1.
Some other operator formulas about two-variable Hermite polynomials are also derived.
用文献[1]中提出的有序算符内的积分技术,简洁地导出了[量子光学学报,2002,8(1):8-12]一文中给出的有用的光场算符公式,并引入了双模厄米特多项式来表达这些公式。
5) modified Hermite Polynomial
修正厄密特多项式
6) hermite polynomials
厄密多项式
1.
Results Obtained some linear combination identities involving Hermite polynomials and parabolic cylinder function.
目的研究厄密多项式与抛物线柱函数线性组合的性质。
补充资料：埃尔米特插值多项式逼近
埃尔米特插值是一种常见的插值方法。假设在区间[α，b]上给定了n个互不相同的点x1，x2,...,xn以及一张数表 (*)记m=α1+α2+...+αn。早在 1878年C.埃尔米特就证明:存在惟一的次数不高于m-1的代数多项式Hn(x),使得
,Hn(x)为表(*)的以 为结点组的埃尔米特插值多项式。如果定义在[α，b]上的函数 ??(x)在xk(k=1，2，...,n)处有αk-1阶导数，并取，则称相应的Hn(x)为??(x)的以为结点组的(α1,α2,...,αn)阶埃尔米特插值多项式。作为特殊情况,若诸αk都为1,则Hn(x)就是??(x)的拉格朗日插值多项式;若n=1，则Hn(x)为??(x)的α1-1阶泰勒多项式。最使人们注意的是诸αk都为2的情况,这时Hn(x)为次数不高于2n-1的代数多项式。如果写
Hn(x)可表示为
在这种情况下，常取,而给以适当的限制。这个想法大致起源于拉格朗日插值多项式的研究。为了改善插值多项式的逼近度，需对其导数作一定的要求。
为了简单，考虑定义区间为[-1,1]的情况。L.费耶尔首先让，称为函数??(x)的埃尔米特－费耶尔插值多项式。如果取切比雪夫多项式Tn(x)=cos(n arc cos x) 的零点全体为结点组, 则有绝对常数с，使得对于[-1,1] 上的任一连续函数??(x)都有式中-1≤x ≤1，ω(??,δ)为??(x)的连续性模。然而，用??n(??,x)逼近??(x)有其饱和性,逼近阶最多为1/n。若关于[-1,1]上的x均匀成立,则??(x)是个常数。但是对于其他结点组，会有较大的差异。例如，取勒让德多项式的零点全体为结点组时,对于[-1,1]上的连续函数??(x)，相应的??n(??,x)仅可能在(-1,1)中内闭一致收敛于??(x)，为了使n→∞时，Fn(??，x)在[-1,1]上一致收敛于??(x)，充分必要条件是。这种在区间端点发生奇异的情况并不很稀有，它促使人们去改变端点的插值情况。P.图兰首先提出在区间端点xon=1,xn+1n=-1处取值与函数取值相同的要求。从而构造了拟埃尔米特-费耶尔插值多项式Q2n+1(??,x),即假定结点组是取在开区间(-1,1)中的,而2n+1次代数多项式Q2n+1(??,x)满足条件，
。这时，如取为Xn(x)的零点全体，则。当然也可以考虑仅在一端插值的情况。然而，倘若将端点作为结点，又会发生剧烈的变化。例如，取,
，则以 为结点组的埃尔米特-费耶尔插值多项式序列Fn+2(??,x)，对于 ??(x)=x2这样好的函数，也会在(-1,1)中处处发散。而取
为结点组时,相应的Fn+2(??,x)对于连续函数??(x)却有逼近阶。埃尔米特插值多项式可以从各方面扩充。例如，可以在某些结点处放弃对某些阶导数的要求，这就是所谓伯克霍夫插值。其中常见的是(0,2)插值,也即对于给定的结点组以及数组,，要确定一个次数不高于2n-1的代数多项式使得，,(k=1,2,...,n)。当取αkn=??(γkn)时，考虑S2n-1(??,x)对??(x)的逼近，也可以考虑埃尔米特插值多项式对函数及其导数的同时逼近。例如，取为结点，对于[-1,1]上的可微函数，考虑
对??(x)及??'(x)的同时逼近。此时有至于对于无限区间或周期函数的情形，自然也可作类似的讨论，只是在周期的情形，有时插值三角多项式却未必存在。
至于??(x)的(α1,α2,...,αn)阶埃尔米特插值多项式Hn(x)对??(x)的逼近,如果??(x)在[α,b]上有m阶导数,则在[α,b]中有与x有关的点ξ使得，式中。
,Hn(x)为表(*)的以 为结点组的埃尔米特插值多项式。如果定义在[α，b]上的函数 ??(x)在xk(k=1，2，...,n)处有αk-1阶导数，并取，则称相应的Hn(x)为??(x)的以为结点组的(α1,α2,...,αn)阶埃尔米特插值多项式。作为特殊情况,若诸αk都为1,则Hn(x)就是??(x)的拉格朗日插值多项式;若n=1，则Hn(x)为??(x)的α1-1阶泰勒多项式。最使人们注意的是诸αk都为2的情况,这时Hn(x)为次数不高于2n-1的代数多项式。如果写
Hn(x)可表示为
在这种情况下，常取,而给以适当的限制。这个想法大致起源于拉格朗日插值多项式的研究。为了改善插值多项式的逼近度，需对其导数作一定的要求。
为了简单，考虑定义区间为[-1,1]的情况。L.费耶尔首先让，称为函数??(x)的埃尔米特－费耶尔插值多项式。如果取切比雪夫多项式Tn(x)=cos(n arc cos x) 的零点全体为结点组, 则有绝对常数с，使得对于[-1,1] 上的任一连续函数??(x)都有式中-1≤x ≤1，ω(??,δ)为??(x)的连续性模。然而，用??n(??,x)逼近??(x)有其饱和性,逼近阶最多为1/n。若关于[-1,1]上的x均匀成立,则??(x)是个常数。但是对于其他结点组，会有较大的差异。例如，取勒让德多项式的零点全体为结点组时,对于[-1,1]上的连续函数??(x)，相应的??n(??,x)仅可能在(-1,1)中内闭一致收敛于??(x)，为了使n→∞时，Fn(??，x)在[-1,1]上一致收敛于??(x)，充分必要条件是。这种在区间端点发生奇异的情况并不很稀有，它促使人们去改变端点的插值情况。P.图兰首先提出在区间端点xon=1,xn+1n=-1处取值与函数取值相同的要求。从而构造了拟埃尔米特-费耶尔插值多项式Q2n+1(??,x),即假定结点组是取在开区间(-1,1)中的,而2n+1次代数多项式Q2n+1(??,x)满足条件，
。这时，如取为Xn(x)的零点全体，则。当然也可以考虑仅在一端插值的情况。然而，倘若将端点作为结点，又会发生剧烈的变化。例如，取,
，则以 为结点组的埃尔米特-费耶尔插值多项式序列Fn+2(??,x)，对于 ??(x)=x2这样好的函数，也会在(-1,1)中处处发散。而取
为结点组时,相应的Fn+2(??,x)对于连续函数??(x)却有逼近阶。埃尔米特插值多项式可以从各方面扩充。例如，可以在某些结点处放弃对某些阶导数的要求，这就是所谓伯克霍夫插值。其中常见的是(0,2)插值,也即对于给定的结点组以及数组,，要确定一个次数不高于2n-1的代数多项式使得，,(k=1,2,...,n)。当取αkn=??(γkn)时，考虑S2n-1(??,x)对??(x)的逼近，也可以考虑埃尔米特插值多项式对函数及其导数的同时逼近。例如，取为结点，对于[-1,1]上的可微函数，考虑
对??(x)及??'(x)的同时逼近。此时有至于对于无限区间或周期函数的情形，自然也可作类似的讨论，只是在周期的情形，有时插值三角多项式却未必存在。
至于??(x)的(α1,α2,...,αn)阶埃尔米特插值多项式Hn(x)对??(x)的逼近,如果??(x)在[α,b]上有m阶导数,则在[α,b]中有与x有关的点ξ使得，式中。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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