补充资料：秩向量

秩向量
rank vector

一了恶儒哥炙一};(一卜合{、;(一)·特别地，假如X，在fo，l]上均匀分布，则 。(，，R.)订幕·如果x服从正态分布(non加曰1 distribuUon)N(召，JZ)，则 。(xi，，‘卜丫针令珊，且p(戈，R，)不依赖于正态分布的参数.秩向量11习Ilkv曰Ctor;p~BBe姗p] 基于随机观测向量X二(X，，，二，茂)的向量统计量(statistics)，其第i分量R:=R，(X)(i二1，一，n)定义为 R一万l。(戈一戈)，其中石(%)是10，十()的特征函数(指示函数)，即 fl，若;)o， 力t叉l二< 七比右x<。，统计量R‘称为随机向量X的第乞分量Xi(泛二1，…，n)的秩(mnk).在满足条件 尸{X二戈}=0，i笋]，的情形下，秩向量的定义是适定的;而该条件显然成立，如果随机向量X的概率分布由密度P(x)二抓xl，…，义。)决定.在此条件下，由秩向量的定义，可见统计量R在由数1，…，n之一切排列厂=(r，，…，r，)构成的空间哭={;子中取值，而秩R，的实现r，，等干向量X的分量中观测值不大于第i分量X:(i二l，’‘，的的实现的分量个数.设X(’)一(X(。l)，…，X(。，:户是基于观测向量X的顺序统计量(。rder statistic)向量.那么，向量偶(R，了‘’)是向量x的分布的充分统计量(sul石cientsta出tic)，而X本身可以唯一地通过(R，丫”)再现.此外，在随机向量x的概率密度p(x)关于其自变量的排列对称这一补充条件下，充分统计量(R，x(.))的分量R与X(’)独立，且有 尸沃=:卜土:嘲 n!特别地，如果 p(x)=夕(x、，…，x。)=nf(xi)，(l)即分量X，，一，弋是独立同分布随机变量(f(x)是戈的密度)，则对于任意k二1，…，n，有 尸、尺二妇二生.，二1 ..…。.{ n}P{R，=k，R，=。}=~一丁一一一二二.，i尹J，k祷爪，〔，。、 “一’‘”’一]”’n fn一1、’一J’一’一’>‘2、，~、n十1~二。、”‘一1.，lE}R乍=生一匕二-.0屯R‘下=二二=之，f二1.…、”.{ 2，-L一12’一”J 如果(l)成立，则戈和R，有联合密度袱x，，k)(k二1，…，八)由如下公式表示: q(义，k)=(3)-一粤招上一f;(二‘)一“一，[1一:(二.)]一“了(二.)， (k一l)!(n一k)!‘一‘’一‘’J其中F(义，)是X:的分布函数.由(2)和(3)可见，戈关于给定R，=k(k=l，…，的的条件密度任(x，}R‘二k)由如下公式表示: q(x，}R，之k)二(4)=，一共牛一二「r(:)1“一，[1一尸(;)一“j(二:). (k一l)!(n一k)!L一、一”利用该式可以深人考察观测向量X、秩向量R和顺序统计量向量X(‘)之间的内在联系，因为(4)恰好是第k顺序统计量x(，lk)(k二l，…，的的概率密度·此外，由(3)可见，秩R的条件分布为 p{R，=k!戈}二 不号撰万。;(x‘):*一。卜:(;)l一最后，在矩E{茂}和0{X*}存在及(l)成立的条件下，由(2)和(3)可见，X，和R，间的相关系数夕(戈，R:)为 户(戈，R‘)=

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