1) variable-domain variational method
变域变分法
2) zone variational method
区域变分法
1.
The Hamiltonian operator of the system is written and with the zone variational method the position of the deep level is located.
采用了复合体模型，对常温下硅中金引入的深能级进行了理论上的计算，给出了相应的哈密顿算符，利用区域变分法计算，计算结果与实验测量数据符合较
3) variable-domain variation
变域变分
1.
Pseudo-potential variable-domain variational FEM for hybrid problem of transonic airfoil;
跨音速翼型杂交问题的赝势函数变域变分有限元法
4) variable domain variation
变域变分
1.
In order to overcome this difficulty, Liu Gao-Lian developed a variable domain variation finite element method, in which the unknown interfaces were regarded as the boundaries of one variable domain and considered as unknown parameters in the variable domain variation, so the s.
刘高联针对未知界面问题发展了一种变域变分有限元方法,该方法将未知界面看作是一个变化区域的边界,采用变域变分将未知界面结合在变分泛函中,使其与求解流场的控制方程结合起来,从而将未知界面的求解和流场的求解完全耦合进行,因而是一种处理未知界面的独特工具,极适合于气动外形的设计求解。
2.
In this paper, in order to solve the variable domain problem, by using the variable domain variation formula and discrete the variation function by the self-adapting finite element, the extremum problem of algebraic function was introduced.
本文在用有限元法求解变域问题时,利用变域变分公式将问题化为求泛函的驻值,但该驻值常常是一个鞍点,因此给计算带来不便,我们在这里利用最小二乘法将求驻值的问题转化为求另一泛函的极值问题,然后采用LMF方法和共轭梯度法求解极值问题。
5) Tran positional domain
变换域法
6) Variation domain
变分域
补充资料：大范围变分法
用拓扑方法研究变分问题的数学分支。古典的变分法研究泛函的极值──极大值或极小值。然而物理、几何以及分析中提出的变分问题，一般不仅要研究泛函的极值点，而且还要研究其临界点，即其变分为零的点。大范围变分法就是研究临界点的理论。
假设M是一个微分流形，??是M上的光滑函数,所谓一点p∈M是??的临界点,是指??的导映射d??在这点为零。??在临界点处的值,称为临界值。对任意实数α,称??α={p∈M|??(p)≤α}为函数??的水平集。大范围变分法的基本手法是通过考察拓扑空间??α随α变化时,其拓扑结构的变化，来判定临界点的存在性和估计临界点的个数。下面是一个有启发性的例子。考察切于平面π的一个环面M,如图所示。
设??:M→R1是关于平面π的高度,易见：①当α<0时，??α=═,②当α=0时，??α={p0}，如图之a，③当0<α1时,??α如图之b,④当h1<α2时,??α如图之c,⑤当h2<α3时，??α如图之d，⑥当α≥h3时，??α＝M，如图之e。其中 hi=??(pi)(i=1,2,3)，连同极小值0,都是??的临界值。这个例子表明：若在实数α,b(α)之间没有??的临界值，则??α与??b是同胚的, 但当α越过??的一个临界值时,一般地，??α的拓扑结构将发生变化。这就是大范围变分法的基本出发点。
H.M.莫尔斯考察了非退化函数的临界点的性态与紧流形M本身的拓扑结构间的联系。函数??称为是非退化的，是指在它的所有临界点上，对应的由二阶导数构成的黑塞矩阵 ()都是非退化的。对应的黑塞矩阵的负本征空间的维数，称为这临界点的莫尔斯指数。用Mk表示函数??的莫尔斯指数为k的临界点的个数。莫尔斯理论的核心是下列莫尔斯不等式： 式中βk是流形M的贝蒂数。应用这组不等式于上例,因为环面有贝蒂数β0=β2=1,β1=2,所以得出：??至少有4个不同的临界点。
基于类似的基本思想,Л.Α.柳斯捷尔尼克、Л.Γ.施尼雷尔曼开辟了另一条估计临界点个数的途径。对M上任意闭子集A,称A在M中的畴数为m,记作Cat(A)=m,是指A可以被m个可缩闭集所覆盖,但不能被m-1个这样的集合覆盖。畴数是一个拓扑不变量。为估计紧流形M上的函数??的临界点个数有下界Cat(M)，柳斯捷尔尼克、施尼雷尔曼引进了下述重数定理：设则当с=сm+1=...=сm+k时，??的以с为临界值的临界点集K0有畴数Cat(K0)≥k。上例中的环面的畴数是3,所以环面上的任意函数至少有3个不同的临界点。柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼理论较莫尔斯理论适用范围宽，例如，函数??不必是非退化的；但畴数的估计比较困难。
R.S.帕莱斯和S.斯梅尔把莫尔斯理论及柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼理论中流形M的紧性条件去掉,代之以在函数??上添加帕莱斯-斯梅尔条件，即对于M上的任意点列{pn},条件??(pn)有界,连同d??(pn)→θ，蕴涵了{pn}有子列收敛。
莫尔斯理论以及柳斯捷尔尼克－施尼雷尔曼理论都被成功地应用到许多变分问题中去，特别是应用于研究黎曼流形上的闭测地线的个数，以及杨-米尔斯方程。
A.阿姆布罗塞蒂、P.H.拉宾诺维茨发展了柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼的思想,提出了山路引理:设??是巴拿赫空间X上的一个满足帕莱斯-斯梅尔条件的C1函数，又设有θ的一个开邻域U和一点x0唘U,使得??(θ)=??(x0)=0，且，则??至少有一个临界值с≥α。随后拉宾诺维茨又提出一系列极小极大原理。对许多由方程引出的变分问题的解的存在性以及个数估计有广泛的应用。特别是对哈密顿方程组周期解的存在性以及周期轨道个数的估计引出重要的结果。
参考书目
R. Bott,Morse Theory,Old and New,BAMS,1981.
W. Klingenberg,Lectures on Closed Geodesics,Springer Verlag, Berlin,1978.
J. Milnor,Morse Theory, Princeton Univ. Press,Princeton,1963.
M. Morse,The calculus of Variations in the large,American Math. Soc. Colloq.Pub.,New York,1934.
假设M是一个微分流形，??是M上的光滑函数,所谓一点p∈M是??的临界点,是指??的导映射d??在这点为零。??在临界点处的值,称为临界值。对任意实数α,称??α={p∈M|??(p)≤α}为函数??的水平集。大范围变分法的基本手法是通过考察拓扑空间??α随α变化时,其拓扑结构的变化，来判定临界点的存在性和估计临界点的个数。下面是一个有启发性的例子。考察切于平面π的一个环面M,如图所示。
设??:M→R1是关于平面π的高度,易见：①当α<0时，??α=═,②当α=0时，??α={p0}，如图之a，③当0<α
H.M.莫尔斯考察了非退化函数的临界点的性态与紧流形M本身的拓扑结构间的联系。函数??称为是非退化的，是指在它的所有临界点上，对应的由二阶导数构成的黑塞矩阵 ()都是非退化的。对应的黑塞矩阵的负本征空间的维数，称为这临界点的莫尔斯指数。用Mk表示函数??的莫尔斯指数为k的临界点的个数。莫尔斯理论的核心是下列莫尔斯不等式： 式中βk是流形M的贝蒂数。应用这组不等式于上例,因为环面有贝蒂数β0=β2=1,β1=2,所以得出：??至少有4个不同的临界点。
基于类似的基本思想,Л.Α.柳斯捷尔尼克、Л.Γ.施尼雷尔曼开辟了另一条估计临界点个数的途径。对M上任意闭子集A,称A在M中的畴数为m,记作Cat(A)=m,是指A可以被m个可缩闭集所覆盖,但不能被m-1个这样的集合覆盖。畴数是一个拓扑不变量。为估计紧流形M上的函数??的临界点个数有下界Cat(M)，柳斯捷尔尼克、施尼雷尔曼引进了下述重数定理：设则当с=сm+1=...=сm+k时，??的以с为临界值的临界点集K0有畴数Cat(K0)≥k。上例中的环面的畴数是3,所以环面上的任意函数至少有3个不同的临界点。柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼理论较莫尔斯理论适用范围宽，例如，函数??不必是非退化的；但畴数的估计比较困难。
R.S.帕莱斯和S.斯梅尔把莫尔斯理论及柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼理论中流形M的紧性条件去掉,代之以在函数??上添加帕莱斯-斯梅尔条件，即对于M上的任意点列{pn},条件??(pn)有界,连同d??(pn)→θ，蕴涵了{pn}有子列收敛。
莫尔斯理论以及柳斯捷尔尼克－施尼雷尔曼理论都被成功地应用到许多变分问题中去，特别是应用于研究黎曼流形上的闭测地线的个数，以及杨-米尔斯方程。
A.阿姆布罗塞蒂、P.H.拉宾诺维茨发展了柳斯捷尔尼克-施尼雷尔曼的思想,提出了山路引理:设??是巴拿赫空间X上的一个满足帕莱斯-斯梅尔条件的C1函数，又设有θ的一个开邻域U和一点x0唘U,使得??(θ)=??(x0)=0，且，则??至少有一个临界值с≥α。随后拉宾诺维茨又提出一系列极小极大原理。对许多由方程引出的变分问题的解的存在性以及个数估计有广泛的应用。特别是对哈密顿方程组周期解的存在性以及周期轨道个数的估计引出重要的结果。
参考书目
R. Bott,Morse Theory,Old and New,BAMS,1981.
W. Klingenberg,Lectures on Closed Geodesics,Springer Verlag, Berlin,1978.
J. Milnor,Morse Theory, Princeton Univ. Press,Princeton,1963.
M. Morse,The calculus of Variations in the large,American Math. Soc. Colloq.Pub.,New York,1934.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条