补充资料：正交群

正交群
CMIhogooal group

　　正交群【训雌J司gr佣p;op劝，，OH幼研盼印yUna] 域k上一n维向量空间(从戈加r sPace)V的保持V上一给定非奇异二次型(q以以mtic form)Q不变的全部线性变换(即对所有v任V使Q(举(v))=Q(v)成立的线性变换)所组成的群.正交群是一种典型群(claSS浏group)，正交群的元素称为V的(相对于Q的)正交变换(o性hogonal加璐fom必tion)，亦称型Q的自同构(autorrlo甲hism of the form).并且，设chark笋2(关于特征2的正交群，见〔1〕.仁71)，并设f为由公式 、(u，。)一夸(。(u一、。，一。(。。一。(u))定义的V上的非奇异对称双线性型.则正交群由全体保持了不变的线性变换组成，它记作O。(k，f)，或(当域k和型f已经指明时)简记作O。若B为f相对于V的某个基的矩阵，则正交群可等同于全体系数在k中的满足关系A丁BA=B(T表示转置)的nx”矩阵A组成的群. 正交群的代数结构的描述是一个经典问题.0，中的元素的行列式等于1或一1.行列式为1的元素称为旋转(rotation)，它们组成正交群的一个指数2的正规子群O厂(k，、f)(或记作O矛)，称为旋转群(rotation grouP).0八O厂中的元素称为反演(~-sion).每个旋转(反演)是O。中偶数个(相应的，奇数个)反射的积. 用z。表示空间V中全体位似毋::v汁“”(“〔k，。‘v，，笋0)所组成的群，则。。门Z。是o。的中心;它由两个元素组成二毋，和毋_1.若”为奇数，则O。为其中心和0广的直接积.设n)3，则当n为奇数时0厂的中心为平凡的，而当n为偶时O言的中心与O。的中心重合.若。=2，群0厂为交换的，并且或者同构于k的乘法群k’(当f的Witt指数U等于1时)，或者同构于k(了二.五)中模为1的元素组成的群，其中△为f的判别式(当v=D).O。(k，f)的换位子群记作。。(k，f)，或简记作O。;它由O。中元素的平方生成.当n)3时，O广的换位子群就是Q。.Q。的中心是Q。门Z。. 与正交群有关的其他典型群包括O才和Q，在射影群(proJ以为记group)里的标准同态象;它们记作PO:(k，f)和PQ。(k，f)(或简记为PO才和PO。)，并分别同构于。厂/(o广门z，)和。。/(。。门z。). 关于代数结构的最基本的经典事实是描述正交群的下列正规子群序列的相邻两项的商的: o，〕o户。。，“。，门z。“{e}. 群o。/O广为2阶的O。/。。中每个非单位元素的阶为2，因而这个群可被其基数完全决定，而基数可能是无限也可能是形如2a的有限数，其中a为一整数.其余的商群的描述实际上有赖于型f的Witt指数v. 首先设。)1.当。>2时。广/Q。二k’/k“，这一同构由旋量模给出，它定义了由。广到k’/k“的满同态而以。。为核.群。。自z。

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