补充资料：结合代数的表示

结合代数的表示
representation of an associative algebra

个表示T::A一End*(EI)和几二A~Elld*(EZ)，由T，到爪的映射f是一个线性映射j:E:~￡2，对a〔注，e任君、，满足f(T1(a)(e))=T2(a)(f(e))，或写成f(“e)二久f(e);因此这是一个A模同态.若双:A~End*(E.)是一组表示，则它们的直和是表示T:A~Ex记、(E)，这里E二铂，E，是向量空间的直和，而对所有“6A，T(a)}:=不(a).A的所有表示的范畴，等价地，(左)A模范畴，是一个Abel范畴.注意:若。是A的中心幂等元(邸-圃泪。即。tent)(即护二。6A，并且对所有“三A，ea二ae)，而X是一个A模，则ex和(1一e)X是A模，X是。X和(l一。)X的直和，并且Hom，(eX，(1一e)X)二0.另一方面，A=A了xAZ，这里式二Ae，AZ之A(1一e)，并且可以将。X看作A:模，将(l一。)X看作A:模.因此，处理月的表示时可以假设A是连通的(con眠ted)(即A的仅有的中心幂等元是0和l). A的表示称为单的(s且nPle)(或不可约的(i川记-ucible))，若它是非零的，并且仅有的真子表示是零表示、Schur引理(Schurlemn么)断言，单表示的自同态环是一个除环(见可除环(佃9 with di油沁n)).A的表示x称为有限长的(of腼te」ength)，若存在子表示序列o二XO CX】C…C茂二X，使得对1(i簇n，戈/戈一、是单的;这样一个序列称为X的一个合成列(comPosition senes)，n是它的长度，而因子X。/戈一J称为合成因子(comPosition faCtor)(亦见合成序列(comPosition seq优n优)).如果一个表示有合成列，则任何两个合成列有相同的长度，并且两个列的合成因子之间存在一个一一映射(J议川妇n一HbU曰定理(Jo代纽n一H61der theo~)).亦可如下表述:所有有限长表示模去正合列得到的Gro山自心改取群(Gm公七ndi以太grouP)是单表示同构类集合上的自由Abel群.A的表示称为半单的(~一silnple)，若它是单表示的直和，或等价地，任一子表示是一个直和项. A的表示称为不可分解的(i耐翎m脚sable)，若它不能写成两个非零表示的直和.若X是A的有限长的不可分解表示，则它的自同态环End〔，X)是一个局部环(1以川朋g).对于带有局部自同态环的表示的有限直和，到不可分解表示的所有直和分解是等价的(为川】一Schmjdt定理，见K浏I一R仪.山一Sd.吐dt定理(K刘1一Remak一Sehi拍dt theo~)).这导致所有有限长模模去分裂正合列的Gm让吮nd治盘群是不可分解表示同构类集合上的自由Abel群. 代数A称作表示有限的(reP璐即切石。

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