1) triangular and 1-banded factorization
三角分解和1-带宽分解
2) triangular factorization
三角分解
1.
Then,a new fast algorithm of the minimal norm least squares solution for linear system whose coefficients is an m×n symmetric Loewner matrix with full column rank is given by forming a special block matrix and researching the triangular factorization of its inverse.
对于工程计算中常常遇到的一类线性方程组的求解,通过构造特殊分块矩阵并研究其逆矩阵的三角分解,给出了求秩为n的m×n阶对称Loewner矩阵为系数阵的线性方程组,及极小范数最小二乘解的快速算法,该算法的计算复杂度为O(mn)+O(n2),而一般方法的计算复杂度为O(mn2)+O(n3)。
2.
In order to decrease the computation amount and reduce the triangular factorization error of Hankel matrix and its inverse,a new fast algorithm is presented in terms of the symmetrical structure of Hankel matrix.
为了降低Hankel矩阵及其逆矩阵三角分解算法的计算量和减小这类算法的误差。
3.
A fast algorithm for determining the triangular factorization of a symmetric r-circulant matrix and inverse matrix using O(n~2) operations is presented.
根据r-对称循环矩阵的特殊结构给出了求这类矩阵本身及其逆矩阵三角分解的快速算法,算法的运算量均为O(n2),一般矩阵及逆矩阵三角分解的运算量均为O(n3)。
3) triangular decomposition
三角分解
1.
In order to study a new algorithm for fast triangular decomposition of Toeplitz matrix,using the displacement structure of the special matrix,the necessary and sufficient condition for a matrix decomposing into the product of the lower and upper triangular Toedplitz matrix is given.
为了研究Toeplitz型矩阵一种新的快速三角分解算法,利用特殊矩阵的位移结构,给出了矩阵可分解为下上三角Toeplitz矩阵乘积的充要条件。
2.
For the m×n Cauchy matrix C with full column rank,the explicit expression and the fast algorithm of the minimal norm least square solution to the linear system Cx=b were indirectly obtained by construction of a special block matrix and study of the triangular decomposition of its inverse.
对于秩为n的m×n阶Cauchy矩阵C,通过构造特殊分块矩阵并研究其逆矩阵的三角分解,进而间接地得到了线性方程组Cx=b的极小范数最小二乘解的显式表达式及其快速算法,所需运算量为O(mn)+O(n2),而通常构造法方程组的方法所需运算量为O(mn2)+O(n3),用正交化法虽然避免了构造法方程组,但所需的运算量更大些。
3.
Method of solving inverse matrix by position displacement, which adopts the triangular decomposition principle can help to solve large inverse matrix with computers.
此方法采用矩阵三角分解原理 ,将矩阵表达为分解上、下三角阵的乘积 ,利用上、下三角阵的求逆结果求得原矩阵的逆阵 。
4) block triangle decomposition
块三角分解
1.
Based on the system balanced block triangle decomposition, a coefficient matrix of system state equations can be of block diagonally dominant by using imbalanced compensating scheme; and therefore, the result of syst.
因此,在系统平衡块三角分解的基础上,利用非平衡补偿方法使系统状态方程的系数矩阵具有块对角优型,使系统模型简化的结果更为理想。
5) triple diagonal factorization
三对角分解
1.
The formula for the LDU factorization,Cholesky factorization and triple diagonal factorization of row(column) symmetric matrix are obtained.
给出行(列)对称矩阵的LDU分解、Cholesky分解和三对角分解公式,可极大地减少行(列)对称矩阵的LDU分解、Cholesky分解和三对角分解的计算量与存储量,而且不会丧失数值精度。
6) triangle-decomposition
三角形分解
1.
In the construction some results of PBD as well as some triangle-decomposition of certain orders are used.
运用组合设计中的PBD方法、差分法等,结合一些已知的PBD存在结果及一些小阶数三角形分解的巧妙构造,给出了3类mixed三角形分解Ti(v,λ)(i=1,2,3)存在的充分必要条件。
补充资料：试样分解
湿法分析中将试样内的被测组分转入适当溶液中的过程。分解试样时，应注意：①分解试样应合理地快而有效；②不应腐蚀容器；③不应引入会干扰以后分析的任何物质，除非这种引入物是易于除去的；④不应引入过量的盐，即使这些盐是相对惰性的，也不应引入太多；⑤不致引起任何组分的损失，除非是试样中那些不要求分析的组分；⑥最好不用不寻常的设备。
水溶法 凡是用水可以完全溶解或部分溶解的试样，都应该用水溶解，将水溶部分单独进行分析。
酸溶法 不溶于水的试样，可用酸溶。因为酸对金属、氧化物和盐类都是有效的溶剂，且过量的酸通常可以挥发除去。此外，在酸溶过程中，由容器腐蚀引起的污染通常较少。酸难溶的试样，才加助熔剂进行熔融分解。熔融法常常引入难于除去的某些不需要的物质。最好能把分解试样和分离步骤结合起来，这样可简化分析手续。
通常将盐酸、氢溴酸、氢氟酸、磷酸、稀硫酸、稀高氯酸称为非氧化性酸。这些酸可以溶解电位序在氢以前的各种金属、多种氧化物和盐类，如碳酸盐、硫化物、磷酸盐等。能与金属离子形成可溶性络离子（例如氯合或氟合络离子）的酸,有助于分解反应,故最常用盐酸溶样。20世纪50年代，中国学者郭承基曾系统地研究过用磷酸溶矿。他发现磷酸是非常强的溶剂,几乎所有(90％以上)的矿物都能溶解，且矿物溶于磷酸后,几乎所有元素都进入溶液。对于某些元素(例如铬、铁、锰、铀等)来说。用磷酸溶矿可以容易地区别出它们在矿物中的存在状态。为了溶解硫化物矿，可在浓磷酸中加入硝酸铵和氯化铵助溶。用酸溶解各种氧化物时，除试样的化学组成外，各组分的结晶构造也有影响。通常，水合氧化物易溶于非氧化性酸（如盐酸、氢溴酸），但经高温灼烧的某些氧化物，如氧化铝、氧化铍、氧化锆等则很难溶。对硅酸盐岩矿试样或玻璃、水泥、陶瓷等，当不需要测定硅含量时，常用氢氟酸加硫酸或氢氟酸加高氯酸在铂坩埚中分解试样。对某些难溶试样（如锆英石、绿柱石等）还必需把它们磨得很细并经长时间处理，才能溶解。
氧化性酸包括硝酸、热的浓硫酸及热的浓高氯酸。用硝酸溶样时，锑和锡都成为不溶性的酸而分离析出。由浓硝酸和浓盐酸按不同体积比配成的王水、逆王水或所谓"红酸"，对不锈钢等难溶合金及金、铂等都是良好的溶剂。王水等可在玻璃容器中溶样。铌、钽、钛、锆、铪、钨等金属以及它们的碳化物、氮化物、硼化物等不溶于王水，但易溶于浓硝酸和浓氢氟酸的混合酸中，这是由于氟离子和这些金属有强的络合作用，此时，宜采用铂坩埚作容器，切不可混入氯离子。
氧化性酸都是硫化物的良好溶剂。高氯酸堪称多面手，它的稀溶液或冷的浓溶液并无可觉察的氧化能力。浓的高氯酸加热后成为强有力的氧化剂，能有效地分解有机物和氧化多种无机物质，尤其是当有少量钒盐或铬盐作催化剂时，功效更高。
用酸加热溶样时应注意：不少易挥发组分如二氧化碳、硫化氢、磷化氢和多种卤化物（如四氯化锗、二氯化汞、三氯化锑、四氯化锡），以及某些氧化物如氧化锇等会挥发损失。当这些组分需要分析时，必须采取适当措施。
熔融法 酸不溶性物质只能采用熔融分解的方法。非氧化性的碱性助熔剂有碳酸钠（或钾）、硼砂和氢氧化钠（或钾）。采用前两种助熔剂时，可在铂坩埚中熔融；但氢氧化钠（或钾）会腐蚀铂坩埚，只能采用镍坩埚、银坩埚或金坩埚，最好采用锆坩埚作容器。将温度控制在500℃以下，从坩埚中引入的杂质相对少些。
无水碳酸钠是最常用的助熔剂，熔融后，可将不溶性硅酸盐转化成硅酸钠和碳酸盐。熔块加酸处理时，二氧化碳逸去,水合硅酸沉淀析出,金属离子转入溶液。如试样中不含硅，则最好将熔块溶于水中。这样常可使Al(Ⅲ)、Mo(Ⅵ)、W(Ⅵ)等和 Fe(Ⅲ)、Ti(Ⅳ)、Zr(Ⅳ)、Ta(Ⅴ)等很好地分离开。在测定硅酸盐岩矿中的碱金属时，氧化钙半熔法是常用的方法。
最有效的碱性氧化性助熔剂是过氧化钠，由于它的腐蚀性极强，除低温半熔外，不能使用铂坩埚。镍坩埚、银坩埚、金坩埚虽都可用，但最好用锆坩埚。应尽量在低温熔融（约650℃）,使坩埚少受腐蚀。也可采用熔融碳酸钠作衬里的办法，以保护坩埚。近年来，还常采用铂坩埚半熔的方法。事先严格校正高温炉的温度计，将试样和过氧化钠均匀拌和，放入铂坩埚中,然后在500±10℃半熔30分钟，铂坩埚损耗小于1毫克。
焦硫酸钾是酸性助熔剂，其优点在于它不腐蚀瓷坩埚或石英坩埚，对金坩埚或铂坩埚的侵蚀也不严重，可用来分解难溶的氧化铍、氧化铝、氧化钛、氧化钽、氧化锆等。熔融温度不宜过高，只要将熔体保持在液态即可，否则，二氧化硫损失过多，留下中性硫酸钾，即失去分解试样的能力。还有一种较少使用的酸性助熔剂是三氧化二硼，它的优点在于：熔融分解试样以后，熔块用经干燥的氯化氢气饱和过的甲醇处理，并加热，硼即以硼酸甲酯形式挥发除去，残渣为二氧化硅和原先存在于试样中的各种金属的氯化物，可按常规方法分析。这种熔融分解方法不至于给试样溶液带进不需要的外来组份。
参考书目
H. H. Willard and C. L. Rulfs, Treatise on Analytical Chemistry, Vol.2, Interscience, New York,1961.
水溶法 凡是用水可以完全溶解或部分溶解的试样，都应该用水溶解，将水溶部分单独进行分析。
酸溶法 不溶于水的试样，可用酸溶。因为酸对金属、氧化物和盐类都是有效的溶剂，且过量的酸通常可以挥发除去。此外，在酸溶过程中，由容器腐蚀引起的污染通常较少。酸难溶的试样，才加助熔剂进行熔融分解。熔融法常常引入难于除去的某些不需要的物质。最好能把分解试样和分离步骤结合起来，这样可简化分析手续。
通常将盐酸、氢溴酸、氢氟酸、磷酸、稀硫酸、稀高氯酸称为非氧化性酸。这些酸可以溶解电位序在氢以前的各种金属、多种氧化物和盐类，如碳酸盐、硫化物、磷酸盐等。能与金属离子形成可溶性络离子（例如氯合或氟合络离子）的酸,有助于分解反应,故最常用盐酸溶样。20世纪50年代，中国学者郭承基曾系统地研究过用磷酸溶矿。他发现磷酸是非常强的溶剂,几乎所有(90％以上)的矿物都能溶解，且矿物溶于磷酸后,几乎所有元素都进入溶液。对于某些元素(例如铬、铁、锰、铀等)来说。用磷酸溶矿可以容易地区别出它们在矿物中的存在状态。为了溶解硫化物矿，可在浓磷酸中加入硝酸铵和氯化铵助溶。用酸溶解各种氧化物时，除试样的化学组成外，各组分的结晶构造也有影响。通常，水合氧化物易溶于非氧化性酸（如盐酸、氢溴酸），但经高温灼烧的某些氧化物，如氧化铝、氧化铍、氧化锆等则很难溶。对硅酸盐岩矿试样或玻璃、水泥、陶瓷等，当不需要测定硅含量时，常用氢氟酸加硫酸或氢氟酸加高氯酸在铂坩埚中分解试样。对某些难溶试样（如锆英石、绿柱石等）还必需把它们磨得很细并经长时间处理，才能溶解。
氧化性酸包括硝酸、热的浓硫酸及热的浓高氯酸。用硝酸溶样时，锑和锡都成为不溶性的酸而分离析出。由浓硝酸和浓盐酸按不同体积比配成的王水、逆王水或所谓"红酸"，对不锈钢等难溶合金及金、铂等都是良好的溶剂。王水等可在玻璃容器中溶样。铌、钽、钛、锆、铪、钨等金属以及它们的碳化物、氮化物、硼化物等不溶于王水，但易溶于浓硝酸和浓氢氟酸的混合酸中，这是由于氟离子和这些金属有强的络合作用，此时，宜采用铂坩埚作容器，切不可混入氯离子。
氧化性酸都是硫化物的良好溶剂。高氯酸堪称多面手，它的稀溶液或冷的浓溶液并无可觉察的氧化能力。浓的高氯酸加热后成为强有力的氧化剂，能有效地分解有机物和氧化多种无机物质，尤其是当有少量钒盐或铬盐作催化剂时，功效更高。
用酸加热溶样时应注意：不少易挥发组分如二氧化碳、硫化氢、磷化氢和多种卤化物（如四氯化锗、二氯化汞、三氯化锑、四氯化锡），以及某些氧化物如氧化锇等会挥发损失。当这些组分需要分析时，必须采取适当措施。
熔融法 酸不溶性物质只能采用熔融分解的方法。非氧化性的碱性助熔剂有碳酸钠（或钾）、硼砂和氢氧化钠（或钾）。采用前两种助熔剂时，可在铂坩埚中熔融；但氢氧化钠（或钾）会腐蚀铂坩埚，只能采用镍坩埚、银坩埚或金坩埚，最好采用锆坩埚作容器。将温度控制在500℃以下，从坩埚中引入的杂质相对少些。
无水碳酸钠是最常用的助熔剂，熔融后，可将不溶性硅酸盐转化成硅酸钠和碳酸盐。熔块加酸处理时，二氧化碳逸去,水合硅酸沉淀析出,金属离子转入溶液。如试样中不含硅，则最好将熔块溶于水中。这样常可使Al(Ⅲ)、Mo(Ⅵ)、W(Ⅵ)等和 Fe(Ⅲ)、Ti(Ⅳ)、Zr(Ⅳ)、Ta(Ⅴ)等很好地分离开。在测定硅酸盐岩矿中的碱金属时，氧化钙半熔法是常用的方法。
最有效的碱性氧化性助熔剂是过氧化钠，由于它的腐蚀性极强，除低温半熔外，不能使用铂坩埚。镍坩埚、银坩埚、金坩埚虽都可用，但最好用锆坩埚。应尽量在低温熔融（约650℃）,使坩埚少受腐蚀。也可采用熔融碳酸钠作衬里的办法，以保护坩埚。近年来，还常采用铂坩埚半熔的方法。事先严格校正高温炉的温度计，将试样和过氧化钠均匀拌和，放入铂坩埚中,然后在500±10℃半熔30分钟，铂坩埚损耗小于1毫克。
焦硫酸钾是酸性助熔剂，其优点在于它不腐蚀瓷坩埚或石英坩埚，对金坩埚或铂坩埚的侵蚀也不严重，可用来分解难溶的氧化铍、氧化铝、氧化钛、氧化钽、氧化锆等。熔融温度不宜过高，只要将熔体保持在液态即可，否则，二氧化硫损失过多，留下中性硫酸钾，即失去分解试样的能力。还有一种较少使用的酸性助熔剂是三氧化二硼，它的优点在于：熔融分解试样以后，熔块用经干燥的氯化氢气饱和过的甲醇处理，并加热，硼即以硼酸甲酯形式挥发除去，残渣为二氧化硅和原先存在于试样中的各种金属的氯化物，可按常规方法分析。这种熔融分解方法不至于给试样溶液带进不需要的外来组份。
参考书目
H. H. Willard and C. L. Rulfs, Treatise on Analytical Chemistry, Vol.2, Interscience, New York,1961.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条