补充资料：酉群

酉群
unitary group;

酉群[丽tary group;yuoTapoa:rpynna」，才树于型f的 除环K上，:维右向量空间V中所有线性变换甲的群U。(K，f)，甲须保持V中一个固定的非奇异半线性(对于K上的对合J)型f，即华满足 f(甲(v)，明(u))=f(v，u)，v，u任V.酉群是典型群(classical grouP).酉群的特殊情形是辛群(s卯lplectic grouP)(这时K是域，J=1一且f是交错双线性型(bilinear form”及正交群(orthogonalgro叩)(K是域，charK祷2，J=1巨f是对称双线性型).下面假设J并1及f具有性质(T)(见Witt定理(Witt theore刀n)).用适当标量乘以f，在不改变酉群的情形下能使f成为Her而te型，进而改变J就可使f成为斜Her而te型. 如果排除。=2，K=F4的情形，则U。(K，f)中每个元素都可写成至多”十1个伪反射(pseudo-reflections)(即固定V中某非迷向超平面的所有元素的变换)的乘积U。(K，f)的中心Z。由V的形式为xl~x下，下〔K，?少下=1，的全部位似所组成. 令、是型厂的Witt指数.若，笋0，取.厂为斜Her而te型是方便的.令T。(K，f)是U。(K，f)的由酉平延(明tary transvection)所生成的正规子群.所谓酉平延是形为x!~天+“又f(“，x)的线性变换，其中。是v中的迷向向量，几‘S二{7〔月州二7}·群T。(K，f)的中心是w。=T。(K，.f)自Z。当K铸F4，巩且”)2时，商群T。(K，f)/w。是单群.商群U。(K，f)/T。(K，f)的构造可描述如下.令Z是K的乘法群K‘的由K.门S生成的子群，令Q是K’的由具有下面性质的元素又‘K’生成的子群:在v中存在双曲平面(hyPerbolic Pklne)(即包含迷向向量的非迷向二维子空间)使得对正交于给定平面的某向量v任v有f(v，v)=又一元“.该子群在K‘中正规.令【K’，。l是K‘的由换位子又、、又一’。一’，几任K‘，w任Q，生成的子群.若排除n=3，尺二F。的情形，则当n)2时，U。(K，f)/T，(K，f)同构于K‘/工[K’，。]. 在很多情形下，群T。(K，f)与U。(K，f)的换位子群重合;例如当，)2时就是如此.若K是交换的凡n)2，则T。(K，f)与场倒吐犯滋行列式(见行列式(deter而nant))等于1的所有元素组成的正规子群U广(K./)重合(除去”=3，K一F4的情形).当除环K在其中心上是有限维的情形，【11研究了U，(K，./)和T。(K，f)的关系. 现设v一O，则所述的很多结果不再成立(有酉群的例子，它有正规子群的无限列，其因子皆为Abel的，也存在n=2的酉群使U厂(K，.f)与换位子群不重合，等等).研究得最多的是在特征笋2的局部紧的除环和代数数域的情形. 关于酉群自同构的基本结果之一如下(见【11):若charK笋2一且刀)3，则酉群u。(K，f)的每个自同构具有形式职(u)一z(u)夕u夕一’，u任U。(K，f)，其中x是U，(K，f)到中心z。

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