补充资料：拓扑向量空间中的测度

拓扑向量空间中的测度
pace Rieasore in a topological vector

拓扑向皿空间中的跳度t~。。肠甲切叫夕一一一g班Ce;MePa.怕no月or.，eC鱿OM地ekT0p皿OM npoc印呱c-T.e} 用来指明定义在拓扑向量空间(topological veCtor印ace)中的测度的一个术语，以强调该测度与空间的线性拓扑结构相关的一些性质.当构造拓扑向量空间中的测度时遇到的一个普遍问题是将一个预测度(娜-111芝巧眠)扩张成测度.设E是一个(实或复)局部凸空间，盯(E)是它的柱集(卿加derset)的代数.假定在纵(E)上定义了一个准测度.要求将此准测度扩张成在。代数黔。(E)上定义的可数可加测度，其中黔。(E)是包含吸(E)的最小。代数.男。(E)是与E中的拓扑自然相关的所有口代数(弱E泊比l，E泊回等等)中最小的;对一大类空间E，这些a代数相互一致.在特殊的也是最重要的情形下，空间E=V‘，即E是某个局部凸空间V的对偶空间并赋予弱*拓扑(于是E’=V)，为使V‘上的准测度解可扩张成测度，只要它的特征泛函(Fou刀Ler变换(Fourler七妞l招-form)). x(，)一Jexn{‘x(，)}、。(x)，x。。，，，。。 V于在空间V上的所谓Q3oHoB拓扑(S‘改阳IOvto加10即)(即由V中所有连续的Hilbert半范数生成的拓扑)意义下是连续的，并且在很多情形下(例如V是一个l砚d以空间(F叹沁hetsPace))特征泛函在V的原拓扑下连续这一条件是必要的.例如，若V是一个核空间(nucl口r sPace)，则Q3阳oB拓扑与原拓扑一致，并且V‘中每个具有连续特征泛函的准测度可扩张为测度.对于定义在Hilbert空间上的准测度，关于上述准测度到测度的可扩张性的充分条件也是必要的.除了准测度到测度的可扩张性的这种一般判别法外，还存在可应用于一些特殊的测度类(或空间类)的这种类型的部分结果.例如，局部凸空间V，上的Gauss准测度(C泊u骆认n Pre.11盆戈‘眼)(即一个预测度，它在任何。代数毋(L)C纵(V’)(L CV‘，di刀IL<的)上的限制是具有相关泛函B(中1，职2)(中:，中2任V)的Gau铝分布)扩张成一个测度，如果存在v中零点的凸邻域，依内积<职，，职2>二B(中;，甲:)定义的度量的:摘(于entroPy)小于2. 对偶空间V‘中的一个(概率)测度序列弱收敛的充分条件是:这些测度的特征泛函序列为逐点收敛的(此条件也是必要的)且依V中的Q3眼oB拓扑在零点处等度连续;同时这些泛函依V的原拓扑等度连续这一条件也是必要的.在Hilbert空间V情形下，V中测度族的弱紧性的充要条件是已知的.它们也可用特征泛函来表示.下面的一些问题仅对〔冶u岛测度曾研究过(1982):拓扑向量空间中的测度关于空间中某一平移集(拟不变集)的拟不变问题(见拟不变测度(q”asi一inval妇11t~眠”(已经知道在许多无限维向量空间中非零测度的拟不变集不必与全空间相合);一个测度关于另一个测度的绝对连续性的判别法.拓扑向量空间中测度的研究主要与轨道积分(in唤卯1~t创eCto毗)与广义随机域的理论有关，并且这些理论在物理学与力学中的应用也极大地促进了它自身的研究.

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