补充资料：素数模的同余式

素数模的同余式
congraenoe modulo a prime number

　　紊数模的同余式【“口g既啤m诫川0 a pdmen田ber;cpa.le朋e.闷冲。，侧yM切专泪.] 模是素数的同余式.素数模的同余式理论的显著特点是模p的剩余类组成p个元素的一个有限域.所以素数模的同余式可以作为有限素域上的方程来处理，而且除了数论的方法以外，还可以用代数几何方法进行研究. 对于代数数论(al邵b俪e number theory)、编码理论和数学的其他分支有重大意义的含单变量x的同余式理论，其基本问题之一是研究分解对素数模p的任意整系数多项式为不可约因子 f(x)三f。(x)…关(x)(modp)的法则. 以素数P为模的有n)2个变量的同余式理论的第二个基本问题是同余方程(congruence equation) f吸x、，…，x。)三0(modP)的解的个数问题，其中x‘(l提i蕊n)彼此独立地变化，或者遍历整个模p剩余类的集合(完全剩余系的问题)，或者取值于它的特殊部分(不完全剩余系的问题1 在有一1个变量的二次和双二次同余式解数l"l题的研究方面，最早的结果是由C，F，Gauss任l})和J 1.Lagrange(!2])得到的.E Artin(l刘)建立了超椭圆同余式y之二f扛)《m‘xP)在素数模p的完全剩余系上解的个数间题与由他引进的有有限常数域的代数函数域__L否函数的凡emann假设之间的联系.特别是，他宣布了这样的假设，即对于同余式少二_厂(x)灾mod川的解数戈(此处多项式厂卜)一护十。、、”一扣十。，对模p而言，不是另一个多项式的平方)，估汁式 }、，。，、2}牛;:!/: 一12:二成立(其中卜l表不实数*的整数部分) Artln的假设对十椭圆同余式 j三、碱借一a一、+h‘m司P)的情形首先为H.Hasse(【61)所证明.后来A.Weil(!81)推广Hasse的方法到一般的情形，而且得到了方程f(二，刃二O在由印=p个儿素组成的域凡的元素中的解数从的估计 {叽一q、续‘了为’了此处j卜，y)是系数在代中的绝对不可约多项式.Hasse-Weil的方法很复杂而且需要用到近代抽象代数儿何学证明Hasse和W酬的结果的一个简单的纯算术方法可在17]中找到. 以素数为模的n个变量的同余式的研究较少下面的定理可以作为一般的结果.设.厂(xl一、戈)是整系数绝对不可约多项式.那么对于同余式 厂(‘:二、叭:)三0(ln冈P)，”)2的解数N。，估计式 }竹一刀’一‘簇。(了)j>，’一二成一立，其中常数c汀，不依赖于p更好的结果已由P.Delj助e(【9])得到 关于素数模的同余式在不完全剩余系上的结果见助HO印a脚假设‘Vinogradov hy即theses);二项同余式(rwo一term“)n歹uen优);幕剩余和非剩余的分布(d lstributiorz。，f卿wer residues and non一res一dues).【补注】如果多项式.厂卜力在凡的代数闭包界上是不可约的，那么它在凡上是绝对不可约的关于在编码理论里出现的有关有限域土_的多项式及其因式分解的某些材料见{AI]
　　

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