1) I-topological Vector Space
I-拓扑线性空间
1.
Some Properties of Locally Convex I-topological Vector Spaces;
局部凸I-拓扑线性空间的若干性质
2) Locally Convex I-topological Vector Space
局部凸I-拓扑线性空间
1.
Some Properties of Locally Convex I-topological Vector Spaces;
局部凸I-拓扑线性空间的若干性质
3) I-topological spaces
I-拓扑空间
4) topological vector space
拓扑线性空间
1.
We give a sufficient & necessary condition for the Existence of non-trivial continuous linear functional on top-ological vector spaces, and show that there is no non-trivial continuous linear functional on any quasi-bounded topological vector space.
给出了拓扑线性空间上存在非零连续线性泛函的一个充要条件,并由此证明了在任意拟有界的拓扑线性空间上均不存在非零连续线性泛函。
2.
In the general topology and functional analysis,attention was paid only on topological vector space L~P when P≥1.
讨论了拓扑线性空间LP[a,b]在0
3.
The paper investigates sensitivity analysis of multiobjective optimization in locally compact topological vector spaces instead of metric spaces and obtains much more general results.
利用局部紧的条件 ,将多目标优划问题的灵敏度分析由度量空间推广到拓扑线性空间 ,得到了更一般的结果。
5) Fuzzy topological linear space
Fuzzy拓扑线性空间
6) Topological linear spaces
拓扑线性空间
1.
In this paper, Drop theorem in topological linear spaces is established.
给出了拓扑线性空间中的一个Drop定理。
补充资料：拓扑线性空间
又称拓扑向量空间，它是具有拓扑结构的线性空间，赋范线性空间概念的推广。
泛函分析早期所研究的空间大都是赋范线性的。但到了30年代初，人们已经充分地认识到，无论从巴拿赫空间理论本身，还是算子代数的研究，都必须引进一般的，不只是序列收敛的弱拓扑。那时已经把巴拿赫空间的一些基本结果推广到完备的、拟赋范的线性空间上去。其后,分布理论的出现,又提出一批新空间如D空间、φ空间等等。这样大量的重要空间就不再是赋范线性的了，于是有必要在它们的基础上，建立起局部凸拓扑线性空间理论。从而开创了新的研究领域，也使泛函分析旧有的理论得到进一步发展。
设x 既是实或复的数域K上的线性空间,又是拓扑空间,并且x×x→x 的映射{x,y}x+y和K×x→x 的映射{α,x}αx都是连续的，则称x为拓扑线性空间。以下还假定所论拓扑线性空间是豪斯多夫空间，因为绝大多数有趣的定理和应用都是关于这类空间的。
线性空间E中的点集A，如果当x,y∈A且0≤α≤1时αx+(1-α)y∈A,则称A是凸集。设A与B是拓扑线性空间x中的点集,如果存在α>0使B嶅αA，则称A吸收B。如果任何x∈x 都被M吸收,则称M为吸收的点集。若对x∈M，当｜λ｜≤1时总有 λx∈M，则称M是平衡的。显然赋范线性空间中的点集 {x;‖x‖}都是吸收的，平衡的。设M嶅x，若对0点的每个邻域V都有α>0使M嶅αV则称M为有界集。
拓扑线性空间x为赋范的充要条件是 x的0点有凸的、有界的邻域。
拟赋范空间 如果线性空间x上每个元x都恰有一数‖x‖与之对应，且①‖x‖≥0又‖x‖＝0当且只当x=0；②‖-x‖=‖x‖, 又当 αn→α，‖xn-x‖→0 时有;③‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，则称x为拟赋范的线性空间。这是赋范线性空间的重要推广。若x 还按距离d(x,y)＝‖x-y‖是完备的，便称x为F空间。[0,1]上全体几乎处处是有限的,可测实值函数构成的集合S[0,1]按成为典型的F空间。F空间都是拓扑线性空间。
局部凸空间 如果拓扑线性空间x在0点存在由凸集构成的邻域基，则称x为局部凸拓扑线性空间,简称为局部凸空间。局部凸空间上必定存在非零的连续线性泛函。可以证明S[0,1]上没有非零的连续线性泛函，从而S[0,1]便不是局部凸的。对于这样的空间当然也就没有对偶理论了。据此可见局部凸假设的重要性。
对局部凸空间x,可以证明存在x在原点之邻域基,其中每个邻域都是凸的、平衡的、吸收的。
若C是线性空间E中一个凸的，吸收的点集，则有所谓闵科夫斯基泛函,它具有性质:①ρ(x+y)≤ρ(x)+ρ(y)，②当t≥0,ρ(tx)=tρ(x)，③若又设C是平衡的，则ρ(αx)=｜α｜ρ(x)。一般也称具有性质①与③的函数ρ(x)为半范数。
另一方面，于一族半范数,如果ρα(x)=0对一切α∈A都成立导致x=0,则全体{x｜ραj(x)<ε，i=1,2,...,n},其中αi∈A,ε>0，便生成一个局部凸空间在0点的邻域基。在应用上，许多局部凸空间正是这样自然形成的。
完全的、可度量化的局部凸空间称为弗雷歇空间。在文献上，弗雷歇空间这个词的使用是不统一的，也有不少人把前述F空间叫做弗雷歇空间。局部凸的空间x可度量化必须且只须 x上的拓扑能由可数多个半范数生成。巴拿赫空间上的算子理论大部分可以推广到弗雷歇空间上去。许多重要的空间是弗雷歇空间或者是由它们生成的，例如φ(Rn)空间、DK空间、D空间等等。
凸集 重要的哈恩－巴拿赫定理也可以表述为：若巴拿赫空间x 的线性簇 g（线性空间经平移后的集）与开球K不相交，则有闭超平面H使H叾g而H∩K=═（见巴拿赫空间）。上述g与K是很特殊的凸集。但对于有限维空间，H.闵科夫斯基在1911年便已论述了一般凸体的分离定理。对于局部凸拓扑线性空间x 有下述一般的分离定理:设A与B是x中非空的、不相交的凸集,则①若A含有内点,则有x上之非零连续线性泛函??与实数r使Re??(x)≤r≤Re??(y)（当x∈A而y∈B）；②若A是闭的，B是紧集，则有x上之连续线性泛函与实数r1，r2使得Re??(x)12(y)（当x∈A而y∈B）。分离定理对于凸集之拓扑性质的研究是很有用的。凸集的几何学是拓扑线性空间论的特色。
端点 在凸性的研究中，很早就出现了端点这概念。后来发展成重要的端点方法。
设E是线性空间,═≠M吇K嶅E，如果从K中两个点k1和k2的一个真凸组合，恒有k1,k2∈M,则称M为K之端集。如果单点集{z0}是K的端集，则称z0为K的端点。
设K是Rn中的紧凸集。闵科夫斯基证明每个x∈K都可表示成至多n+1个K之端点的凸组合。
起源于对巴拿赫空间的共轭空间中弱*紧集的研究，1940年证明了很有用的克列因-米利曼定理：设K是局部凸空间x中的紧集，又K之全体端点为ε，则K吇ε之凸闭包，如果K还是凸的，则K=。
G.绍凯在1960年证明了如下定理：设K是度量空间x中凸的紧集，则K所有端点的集合ε是一个GΔ集合,且对每个x∈K,有定义在x之一切贝尔集上之非负的贝尔测度μx(·)使得μx(x\ε)=0，μx(ε)=1且。
弱拓扑与麦基拓扑 设x是线性空间,Y是x上一些线性泛函构成的线性空间，且Y能分离x的点，即??(x)=0对一切 ??∈Y 都成立时导致x＝0，便把这样一对空间记作,Y>。
对于〈x,Y〉,则x上使Y中一切泛函都连续之最弱的局部凸拓扑便称为x上的Y弱拓扑，记作σ(x,Y)。实际上，一切就构成 σ(x，Y)在0点的一个邻域基。当x是巴拿赫空间时，则x上的弱拓扑即σ(X,X*)，而x*上的弱拓扑即σ(x*,x)。
设线性空间x按拓扑J成为局部凸空间,记作(x,J)。所有在 x上按J连续的线性泛函称为(x,J)的拓扑对偶，记作x*。在x上除了σ(x，Y)还可能有其他的局部凸拓扑J使(x，J)的拓扑对偶恰好是Y。人们自然希望能刻画出所有这样的拓扑J。
对于〈x,Y〉，则在Y之任何凸的，σ〈Y,x〉紧的点集上皆一致收敛的拓扑称为x上的麦基拓扑,记作τ(x,Y)，亦即必须且只须y(xα)在Y 之任何凸的σ(Y,x)紧的点集上都一致收敛。
拓扑τ(x,Y)比σ(x,Y)强。
麦基－阿伦斯定理 对于〈x，Y〉，则 x上之局部凸拓扑J使（x,J）的拓扑对偶恰好是Y的充要条件为σ(x,Y)吇J吇τ(x,y)。拓扑J也称为〈x,Y〉拓扑。
对〈x,Y〉与M嶅x，则
称为M的极集。当 x＝Y 为希尔伯特空间，而M是x之子空间时，则 M0即 M寑。当x为巴拿赫空间，Y=x*而M={x｜‖x‖≤r}时，则。
布尔巴基-阿劳格鲁定理 设U嶅x是O点之凸的、平衡的、某〈x,Y〉拓扑的邻域,那么U0是Y中σ(Y,x)紧集。
这是一般拓扑学在泛函分析中的重要成就。
对于一个重要的性质p,人们希望能完全地刻画出使p得以成立的空间结构。这显然是有趣的,事实上也往往是很有价值的。于是在拓扑线性空间论中便提出许多重要的空间，例如桶空间、蒙泰尔空间、核空间等等。
桶空间 局部凸空间x 中之平衡的，吸收的凸闭集叫做桶。如果x的每个桶都是O点的邻域，则称x 为桶空间。这空间的特性在于下列定理:设x 是局部凸空间,则x*中一切σ(x*,x)有界集皆同等连续的充要条件是x 为桶空间。凡属第二纲的局部凸空间都是桶空间，于是巴拿赫空间，弗雷歇空间都是桶空间。广义函数论中的D空间也是桶空间。
蒙泰尔空间 设x是桶空间。如果x中每个有界闭集都是紧的,则称x为蒙泰尔空间。广义函数论中之D空间与φ空间都是蒙泰尔空间。
有界型空间 如果局部凸空间x中任何凸的,平衡的，能吸收任何有界集的点集都是O点的邻域,则称x 为有界型空间。设线性算子T 把有界型空间x 映入局部凸空间Y，如果T把每个有界集都映成有界集，则T是连续的。
正是由于研究映射的连续性，在局部凸拓扑线性空间论中便出现了种种拓扑和空间。前述之弱拓扑、麦基拓扑、有界型空间等都是如此。
核空间 设E为局部凸拓扑线性空间，V 是O点的一个凸的、平衡的邻域。视{y｜pV(x-y)=0}为一个元慜V,这里 pV为对应于V的闵科夫斯基泛函。 所有如此慜V按成为一个赋范线性空间xV。如果对O之任给的一凸的、平衡的邻域U,都存在O 的凸的、平衡的邻域V 使V嶅U且相应的典则映射的完备化空间U为核算子，则称x为核空间,它是抽象核定理得以成立的局部凸空间，是数学分析中重要的拓扑线性空间。
由于数学及其应用的要求，人们往往要从熟知的空间，构造出新的拓扑线性空间。
归纳极限 设x是复(或实)线性空间，{xn} 都是局部凸空间,且 设xn上的局部凸拓扑是xn+1的拓扑在xn上的限制,设U是由x中所有那些凸的、平衡的、吸收的点集U组成,每个U∩xn 都是xn中的开集n=1,2,...,则U是一个局部凸拓扑在O点的邻域基，这局部凸空间便称为{xn}之严格归纳极限，这在广义函数论中是很重要的概念。特点是：设T为从x到局部凸空间Y 的线性映射,则T是连续的必须且只须每个限制T｜xn都连续。弗雷歇空间序列的严格归纳极限称为LF空间，它是分析学中一类很有用的空间。
投影拓扑 乘积拓扑（见拓扑空间）的推广。 设：{Eα}α∈A 是一族拓扑线性空间。设φα是一族从线性空间E到Eα的线性映射，则E上一切使φα(α∈A)都连续的拓扑中之最弱者称为E上相对于{φα}α∈A的投影拓扑。
以桶空间这类型说，由它生成的商空间、乘积空间、严格归纳极限等都仍然是桶空间。一般对各种类型的空间，往往需要考察由它们生成的空间是否保持原来的类型不变。
参考书目
N.Bourbaki,Espaces Vectoriels Topologigues, Actualités Sei. Ind Hermann, Paris, 1953,1955.
J.L.Kelley and I.Namioka, et al.,Linear Topological Spaces, Van Nostrand,New York,1963.
G.Kthe,Topological Vector Spaces, Vo1. I,Springer-Verlag, New York, 1969.
泛函分析早期所研究的空间大都是赋范线性的。但到了30年代初，人们已经充分地认识到，无论从巴拿赫空间理论本身，还是算子代数的研究，都必须引进一般的，不只是序列收敛的弱拓扑。那时已经把巴拿赫空间的一些基本结果推广到完备的、拟赋范的线性空间上去。其后,分布理论的出现,又提出一批新空间如D空间、φ空间等等。这样大量的重要空间就不再是赋范线性的了，于是有必要在它们的基础上，建立起局部凸拓扑线性空间理论。从而开创了新的研究领域，也使泛函分析旧有的理论得到进一步发展。
设x 既是实或复的数域K上的线性空间,又是拓扑空间,并且x×x→x 的映射{x,y}x+y和K×x→x 的映射{α,x}αx都是连续的，则称x为拓扑线性空间。以下还假定所论拓扑线性空间是豪斯多夫空间，因为绝大多数有趣的定理和应用都是关于这类空间的。
线性空间E中的点集A，如果当x,y∈A且0≤α≤1时αx+(1-α)y∈A,则称A是凸集。设A与B是拓扑线性空间x中的点集,如果存在α>0使B嶅αA，则称A吸收B。如果任何x∈x 都被M吸收,则称M为吸收的点集。若对x∈M，当｜λ｜≤1时总有 λx∈M，则称M是平衡的。显然赋范线性空间中的点集 {x;‖x‖
拓扑线性空间x为赋范的充要条件是 x的0点有凸的、有界的邻域。
拟赋范空间 如果线性空间x上每个元x都恰有一数‖x‖与之对应，且①‖x‖≥0又‖x‖＝0当且只当x=0；②‖-x‖=‖x‖, 又当 αn→α，‖xn-x‖→0 时有;③‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖，则称x为拟赋范的线性空间。这是赋范线性空间的重要推广。若x 还按距离d(x,y)＝‖x-y‖是完备的，便称x为F空间。[0,1]上全体几乎处处是有限的,可测实值函数构成的集合S[0,1]按成为典型的F空间。F空间都是拓扑线性空间。
局部凸空间 如果拓扑线性空间x在0点存在由凸集构成的邻域基，则称x为局部凸拓扑线性空间,简称为局部凸空间。局部凸空间上必定存在非零的连续线性泛函。可以证明S[0,1]上没有非零的连续线性泛函，从而S[0,1]便不是局部凸的。对于这样的空间当然也就没有对偶理论了。据此可见局部凸假设的重要性。
对局部凸空间x,可以证明存在x在原点之邻域基,其中每个邻域都是凸的、平衡的、吸收的。
若C是线性空间E中一个凸的，吸收的点集，则有所谓闵科夫斯基泛函,它具有性质:①ρ(x+y)≤ρ(x)+ρ(y)，②当t≥0,ρ(tx)=tρ(x)，③若又设C是平衡的，则ρ(αx)=｜α｜ρ(x)。一般也称具有性质①与③的函数ρ(x)为半范数。
另一方面，于一族半范数,如果ρα(x)=0对一切α∈A都成立导致x=0,则全体{x｜ραj(x)<ε，i=1,2,...,n},其中αi∈A,ε>0，便生成一个局部凸空间在0点的邻域基。在应用上，许多局部凸空间正是这样自然形成的。
完全的、可度量化的局部凸空间称为弗雷歇空间。在文献上，弗雷歇空间这个词的使用是不统一的，也有不少人把前述F空间叫做弗雷歇空间。局部凸的空间x可度量化必须且只须 x上的拓扑能由可数多个半范数生成。巴拿赫空间上的算子理论大部分可以推广到弗雷歇空间上去。许多重要的空间是弗雷歇空间或者是由它们生成的，例如φ(Rn)空间、DK空间、D空间等等。
凸集 重要的哈恩－巴拿赫定理也可以表述为：若巴拿赫空间x 的线性簇 g（线性空间经平移后的集）与开球K不相交，则有闭超平面H使H叾g而H∩K=═（见巴拿赫空间）。上述g与K是很特殊的凸集。但对于有限维空间，H.闵科夫斯基在1911年便已论述了一般凸体的分离定理。对于局部凸拓扑线性空间x 有下述一般的分离定理:设A与B是x中非空的、不相交的凸集,则①若A含有内点,则有x上之非零连续线性泛函??与实数r使Re??(x)≤r≤Re??(y)（当x∈A而y∈B）；②若A是闭的，B是紧集，则有x上之连续线性泛函与实数r1，r2使得Re??(x)
端点 在凸性的研究中，很早就出现了端点这概念。后来发展成重要的端点方法。
设E是线性空间,═≠M吇K嶅E，如果从K中两个点k1和k2的一个真凸组合，恒有k1,k2∈M,则称M为K之端集。如果单点集{z0}是K的端集，则称z0为K的端点。
设K是Rn中的紧凸集。闵科夫斯基证明每个x∈K都可表示成至多n+1个K之端点的凸组合。
起源于对巴拿赫空间的共轭空间中弱*紧集的研究，1940年证明了很有用的克列因-米利曼定理：设K是局部凸空间x中的紧集，又K之全体端点为ε，则K吇ε之凸闭包，如果K还是凸的，则K=。
G.绍凯在1960年证明了如下定理：设K是度量空间x中凸的紧集，则K所有端点的集合ε是一个GΔ集合,且对每个x∈K,有定义在x之一切贝尔集上之非负的贝尔测度μx(·)使得μx(x\ε)=0，μx(ε)=1且。
弱拓扑与麦基拓扑 设x是线性空间,Y是x上一些线性泛函构成的线性空间，且Y能分离x的点，即??(x)=0对一切 ??∈Y 都成立时导致x＝0，便把这样一对空间记作
对于〈x,Y〉,则x上使Y中一切泛函都连续之最弱的局部凸拓扑便称为x上的Y弱拓扑，记作σ(x,Y)。实际上，一切就构成 σ(x，Y)在0点的一个邻域基。当x是巴拿赫空间时，则x上的弱拓扑即σ(X,X*)，而x*上的弱拓扑即σ(x*,x)。
设线性空间x按拓扑J成为局部凸空间,记作(x,J)。所有在 x上按J连续的线性泛函称为(x,J)的拓扑对偶，记作x*。在x上除了σ(x，Y)还可能有其他的局部凸拓扑J使(x，J)的拓扑对偶恰好是Y。人们自然希望能刻画出所有这样的拓扑J。
对于〈x,Y〉，则在Y之任何凸的，σ〈Y,x〉紧的点集上皆一致收敛的拓扑称为x上的麦基拓扑,记作τ(x,Y)，亦即必须且只须y(xα)在Y 之任何凸的σ(Y,x)紧的点集上都一致收敛。
拓扑τ(x,Y)比σ(x,Y)强。
麦基－阿伦斯定理 对于〈x，Y〉，则 x上之局部凸拓扑J使（x,J）的拓扑对偶恰好是Y的充要条件为σ(x,Y)吇J吇τ(x,y)。拓扑J也称为〈x,Y〉拓扑。
对〈x,Y〉与M嶅x，则
称为M的极集。当 x＝Y 为希尔伯特空间，而M是x之子空间时，则 M0即 M寑。当x为巴拿赫空间，Y=x*而M={x｜‖x‖≤r}时，则。
布尔巴基-阿劳格鲁定理 设U嶅x是O点之凸的、平衡的、某〈x,Y〉拓扑的邻域,那么U0是Y中σ(Y,x)紧集。
这是一般拓扑学在泛函分析中的重要成就。
对于一个重要的性质p,人们希望能完全地刻画出使p得以成立的空间结构。这显然是有趣的,事实上也往往是很有价值的。于是在拓扑线性空间论中便提出许多重要的空间，例如桶空间、蒙泰尔空间、核空间等等。
桶空间 局部凸空间x 中之平衡的，吸收的凸闭集叫做桶。如果x的每个桶都是O点的邻域，则称x 为桶空间。这空间的特性在于下列定理:设x 是局部凸空间,则x*中一切σ(x*,x)有界集皆同等连续的充要条件是x 为桶空间。凡属第二纲的局部凸空间都是桶空间，于是巴拿赫空间，弗雷歇空间都是桶空间。广义函数论中的D空间也是桶空间。
蒙泰尔空间 设x是桶空间。如果x中每个有界闭集都是紧的,则称x为蒙泰尔空间。广义函数论中之D空间与φ空间都是蒙泰尔空间。
有界型空间 如果局部凸空间x中任何凸的,平衡的，能吸收任何有界集的点集都是O点的邻域,则称x 为有界型空间。设线性算子T 把有界型空间x 映入局部凸空间Y，如果T把每个有界集都映成有界集，则T是连续的。
正是由于研究映射的连续性，在局部凸拓扑线性空间论中便出现了种种拓扑和空间。前述之弱拓扑、麦基拓扑、有界型空间等都是如此。
核空间 设E为局部凸拓扑线性空间，V 是O点的一个凸的、平衡的邻域。视{y｜pV(x-y)=0}为一个元慜V,这里 pV为对应于V的闵科夫斯基泛函。 所有如此慜V按成为一个赋范线性空间xV。如果对O之任给的一凸的、平衡的邻域U,都存在O 的凸的、平衡的邻域V 使V嶅U且相应的典则映射的完备化空间U为核算子，则称x为核空间,它是抽象核定理得以成立的局部凸空间，是数学分析中重要的拓扑线性空间。
由于数学及其应用的要求，人们往往要从熟知的空间，构造出新的拓扑线性空间。
归纳极限 设x是复(或实)线性空间，{xn} 都是局部凸空间,且 设xn上的局部凸拓扑是xn+1的拓扑在xn上的限制,设U是由x中所有那些凸的、平衡的、吸收的点集U组成,每个U∩xn 都是xn中的开集n=1,2,...,则U是一个局部凸拓扑在O点的邻域基，这局部凸空间便称为{xn}之严格归纳极限，这在广义函数论中是很重要的概念。特点是：设T为从x到局部凸空间Y 的线性映射,则T是连续的必须且只须每个限制T｜xn都连续。弗雷歇空间序列的严格归纳极限称为LF空间，它是分析学中一类很有用的空间。
投影拓扑 乘积拓扑（见拓扑空间）的推广。 设：{Eα}α∈A 是一族拓扑线性空间。设φα是一族从线性空间E到Eα的线性映射，则E上一切使φα(α∈A)都连续的拓扑中之最弱者称为E上相对于{φα}α∈A的投影拓扑。
以桶空间这类型说，由它生成的商空间、乘积空间、严格归纳极限等都仍然是桶空间。一般对各种类型的空间，往往需要考察由它们生成的空间是否保持原来的类型不变。
参考书目
N.Bourbaki,Espaces Vectoriels Topologigues, Actualités Sei. Ind Hermann, Paris, 1953,1955.
J.L.Kelley and I.Namioka, et al.,Linear Topological Spaces, Van Nostrand,New York,1963.
G.Kthe,Topological Vector Spaces, Vo1. I,Springer-Verlag, New York, 1969.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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