什么是曲面积分？

先看一个例子：设有一构件占空间曲面σ，其质量分布密度函数为(密度分布)ρ（x,y,z），求构件的质量。

同样，对于密度不均匀的物件，也不可以直接利用ρs（这里的s代表的是面积,下同）处理问题的思想方法类似于分布在平面区域的质量问题，就需要利用曲面积分；

dm=ρ（x,y,z）*ds；m=∫ρ（x,y,z）*ds，就是对面积的曲面积分。

定义：

设σ为光滑曲面，函数f(x,y,z)在σ上有界，把σ任意地分成n个小曲面δs,在每个小曲面δsi上任取一点(xi,yi,zi) 作乘积f(xi,yi,zi)ds，并求和σf(xi,yi,zi)ds ，记λ=max(δs的直径) ，

若f(xi,yi,zi)ds当λ→0时的极限存在，且极限值与σ的分法及（xi,yi,zi）在σ上的取法无关，则称极限值为f（x,y,z）在σ上对面积的曲面积分，也叫做第一类曲面积分。即为∫∫f(x,y,z)ds；其中f(x,y,z)叫做被积函数，σ叫做积分曲面，ds叫做面积函数。

曲面积分的类别：对面积的曲面积分 （第一类曲面积分）；

对坐标轴的曲面积分（第二类曲面积分）；

对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分是可以转化的；两类曲面积分的区别在于形式上积分元素的不同，第一类曲面积分的积分元素是面积元素ds,例如：在积分曲面σ上的对面积的曲面积分：

∫∫f(x,y,z)ds；

而第二类曲面积分的积分元素是坐标平面dxdy,dydz或dxdz,例如：在积分曲面σ上的对坐标平面的曲面积分：

∫∫p(x,y,z)dxdy+q(x,y,z)dydz+r(x,y,z)dxdz；

两种曲面积分之间的关系：

两种积分之间的转化在于如何将空间曲面在坐标平面上投影；

设ds是积分曲面σ上的面积元素。

设σ的方程为z=(x,y)，σ在xoy平面上的投影区域d是有界闭区域，z=(x,y)在d上具有连续的偏导数，于是：

ds/(dxdy)=1/cosθ，θ是面积元素ds和坐标平面的夹角；

积分曲面σ上任意一点的法向量为（〥z/〥x，〥z/〥y,-1）(注：〥表示求偏导数，〥z/〥x表示z对x偏导数，是整体符号，下同）,xoy平面的法向量取（0，0，1）；

于是1/cosθ=√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]；

所以ds=√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]*dxdy，σ上的点为（x,y,z(x,y)）则∫∫f(x,y,z)ds存在，且在积分曲面σ上的曲面积分有：

∫∫f(x,y,z)ds=∫∫f(x,y,z)*√[1+(〥z/〥x)^2+(〥z/〥y）^2]*dxdy

这样就把对面积的曲面积分和对坐标轴的曲面积分的关系联系起来了。

而对于∫∫p(x,y,z)dxdy+q(x,y,z)dydz+r(x,y,z)dxdz这种类型的曲面积分，积分曲面可能需要同时向三个坐标平面 xoy,xoz,yoz投影,投影的方式和上面的方法一样。实际上如果面积元素ds与三个坐标平面的夹角分别为α，β，γ，则有dxdy=cosαds;dxdz=cosβds,dydz=cosγds;

而α，β，γ的余弦是可以通过法向量的数量积求得的，所以可以写成：

∫∫p(x,y,z)dxdy+q(x,y,z)dydz+r(x,y,z)dxdz=∫∫[p(x,y,z)cosα+q(x,y,z)cosγ+r(x,y,z)cosβ]ds

在向各个坐标平面投影的时候需要注意ds的有向性，即夹角的大小，在夹角大于π/2的时候，其余弦值是负的。