补充资料：算子演算

算子演算
operatianal calculus

算子演算[啊珍份‘翔目.浏腼;。ueP明HollHoel.c，I.c加.UHel 数学分析的一种方法，在很多情况下，该法有可能把对微分算子(山氏民爪闭。详份加r)、伪傲分算子(脚记。刁迁昆记n柱目D详”tor)和一定类型的积分算子(角僻蒯。详”tor)的研究以及包含它们的方程的解的研究化为对较简单的代数问题的探讨.算子演算的发展和系统的应用始于O.H比姑讼的工作(l 892)，他提出了处理微分算子d/六的形式规则，并且解决了许多应用问题.然而，他没有给出算子演算的数学依据;这是借助于h内沈变换(助plaCe tla留允nn)才做到的;J .M业逻政ki(1953)利用函数环的概念把算子演算置于代数形式之中.一种算子演算的最一般概念是利用广义函数(罗茂扭血司允戊石。n)得到的. 算子演算最简单的变形如下.设K是给定在定义域0簇t<的中且在任何有限区间绝对可积的(有实值或复值的)函数的集合.积分 h一f*。一了，(x一:)。(下)d: 0称为函数f，g‘K的卷积(con铂】浦on).带有通常的加法运算和卷积运算，K成为无零因子的环(TitChi班此h定理(T而hlr以IShtheorem)，1924).这环的分式域(甲刃企献几】d)p的元素称为算子(。详泥-to招)且写成a/阮在K中除法不一定可能这一事实恰恰是一种新概念—算子的来源，它推广了函数的概念.在算子演算中，为了表明一个函数和它在一点上的值这两个概念之间的必要的差别，使用以下的记号: {f(t)}表示一个变量t的函数升 f(t)表示{f(t)}在一点t的值. 寒子的例·l)“一{l}是谬分攀子〔加吮”石的opemtor): ‘，，“，一{)“·)‘·}·此外， 。，一丁二里二一飞， t TLP)J而且，特别地 “”{f}一丁d亡…了f(。)J:(。重)- 0O一i华二耳早厂。:)d:. 公Ln一i):这是Ca玻hy公式，它到任意(非整数)指数的推广用来定义分数次积分. 2)[:1={二}/{l}(这里“是常函数)是一个数值算子(n~‘兑1 operator);就[“l印l=[“口l，[:+口]=【:]+[吞]，[:]{f}={:f}，而{“}{口}二{:P‘}而言，数值算子表现犹如常数.这样，这个算子不仅是函数的推广，而且是数的推广;【l]是环K中的单位元. 3)s二[l}/e是微分算子(土既祀川勿如no详”tor)，积分算子的逆，所以如果一个函数a(t)二{a(O}有导数a‘(t)，则 s{a}={a‘}+【a(0)]，且 {a‘”，}=s”{a}一s”一’[a(o)1-·一[a“一’(0)]·因此，例如 于e一卜-上一. S一a 当然，一个不可微函数能用微分算子s去乘;然而，其结果一般会是一个算子. 4)D{f}={一rf(t)}是代数导数(目脑面c由行珑币w)它按通常的方法延拓到任意算子.这表明这个算子在微分算子s的函数上的作用与对:的微分一致. 算子演算为解线性微分方程，包括常和偏两者，提供了合适的方法.例如，解满足初始条件戈(0)“，。，…，x(”一’)(o)=，。一，的方程 “。x(月)+…+“。x=f，:‘=常数，i=o，’“，n，自动地化成一个代数方程.它用公式符号地表示为 口.5”一’+…+R。十f X二二二一 戊，S”+’二+“o’ 刀，=“，*:下。+‘’‘+“。下。一，一，·这个解按其通常形式是对变量s分解成初等分式，然后参照适当的函数表用接着产生的逆变换得到. 在算子演算对偏微分方程(也对更一般的伪徽分方程)的应用中，要用到算子函数(o详”torftmc-tions)，即具有算子值的函数的微分和积分演算.对这些函数，必须建立连续性、导数、级数收敛性、积分等概念. 设f以，t)是对t)O和又气a，bJ定义的一个函数.参数算子函数(pajran犯州c operator function)f(对由公式f(又)={f(又，t)}定义;它把一定类型的算子—t的函数—与所考虑的又的值相对应.一个算子函数称为对又盯a，b]连续，如果它能表示成一个算子q和一个参数函数关(又)={五(又，O}的积，使得f:(又，O在通常意义下连续. 例1)用参数函数h(又)={h(又，t)}: fo，对。(t<又， *(*，‘)一飞:二;，万。‘;蔺亡，Heavis迈毖函数(Hea偏流允‘由n)被定义为: H(又)=s{h(又，t)}·双曲指数函数(勿供r加lic ex卯nent以仙‘tion)的值 e一“兰sH(又)=s’{h(又，t)}称为移位算子(sh江t。伴口加招)，因为给定函数用e一”相乘需要它的图象沿t轴正方向位移又. 2)热传导方程 刁x刁2% 日t刁几2的解能用抛物指数函数(pajrabelic expo卿回五川c-山n)(它也是参数算子函数)表示: 一不一万二共二了exP「一共1). tZ丫二t’一’丫L4亡」j’ 3)周期2又。的周期函数f(O有表示: 了。一，(*)过、 {f}二二丫一一- l一e一Zjos 4)如果f(劝在区间【又，，又2』中取数值，则 )。一af(又，过又一{;{“”盆续坑分;>*2，即用。一‘，乘给定函数{f}随后再积分使它的图象产生一个截断(切皿暇币。n).特别地， 丁e一‘:，(*)d*一{，(，)}. 0这样，对每一个所考虑的积分是收敛的函数f(t)，有一个对应的解析函数: ;(:)一丁e一，(:)d。， 0即它的Laphce变换.结果，一个相当广泛的算子类可用单参数s的函数来描述;此外，这个形式的相似性借助建立一个确定的同构可用数学术语定义得更精确. 有各种各样的算子演算的推广;例如，除s=d/dt以外的微分算子的算子演算，带如b=d/dt(t(d/d亡))，它是建立在带有一个适当定义的积的其他函数环的基础上的.【补注】12]的第二版最近已问世(【Al]，【A2】).在以上参数算子函数f(劝的例子中，其用途是用来构造对算子的微分和积分演算.关于算子函数f(又)截断的更多详情见【A2]，第V部分第1章;5.对f〔K，形式为。一三‘f的一个算子等同于具有下有界支集的阮h胃田住广义函数 SchwartZ广义函数和州业谓血拓算子的概念互不包含，但是两者都推广了函数及其导数的概念. 术语“算子演算”也在函教演算(血‘山“目calc川留)意义下使用，即某个函数代数到一个算子代数中的同态.最后，名词“算子演算”(。详阳如calc川场)出现在本世纪50年代为研究盆子电动力学而发展起来的时序算子演算(山r~。川勃团。详阳妞calc川资)〔凡界知既山·D”on时序算子演算(珍卿m力-D郊on tin笼一。川。司。详”枷cakul场))的上下文中(汇A4}，【A5])，且与积积分(即团uct勿魄同)有关(「A6}).

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