补充资料：共形几何学

共形几何学
confbnnal geometry

主角日‘和日:定义了第一个圆的球与第二个圆的球 形成的角的极值.如果口，二仇，那么对应卜圆对所有的 球，口=口l=陇二这样的一对圆称为等角的.两个圆的 相互位置可用圆对不变量:a)环绕(l一2八十k>O)，b) 分离门一Zh十人<.1))，或c)相交日一Zh十k=0)(见 图2)及球戈和‘，的线性独立条件来表征.对于个 仓二O动 !钊2圆对的等角性，其充要条件是八2一介=O 在共形几何学中，数学分析方法的使用导致了共形微分几何学(confo，讯al一differential罗ometry)的产件:.具有共形联络(confblTna{conneCtl01飞)的空间的几何学是基于共形儿何学来构造的，并且这种儿何学与共形几何学的关系和Rler压返r田儿何学与Euch妇几何学的关系一样.下面的术语也是对共形几何学的习惯叫法:反演半径的几何学(脚~、。fin~radi，)，圆几何李沁i斑har脚‘ry)，呼簿牛何掌(in祀巧io“脚nle娜.)、以及M比iusJ.t何学(M bbius罗Ometr，‘(得名于首先研究圆变换几何学的八.M6bius)·【补注】【Al〕给川J‘一维M6biu、几何的一个详尽无遗的论体.共形几何学[朋d油naige姗e甸:栩叫阳卿胭~卿l 儿何学的分支，它研究图形的那些在共形变换‘①n狡〕rmal trans毖brmation)下不变的性质.共形儿何学中主要的不变量是两个方向之间的角. 共形几何学足定义于增添一个理想无穷远点扩充一r的Euclid空间上的儿何学，且以把球面变为球面的点变换群作为其基本秽这个空间称为共形空间(以)n formalsPa二)似。而其基本群称为华形拿诊群(gr。叩o1con formal transfo助ations)在共形空间中·}二面是通过无穷远点的球面. 共形儿何的这个定义适用f任意维数的Eudid空间;在二维情形，可用圆来代替球而.对于维数f)3，把球面变为球面的变换概括厂所有的保角变换硒L;ouville定理‘L，ouv五Ile thcorem)).对上、二2，保角变换群要大一些;可是，就是在这种情况卜，共形几何学这一名称仍是指具有把圆变为圆的点变换群作为其基本群的儿何学. 共形儿何学的基本群中每个变换可分解为有限个Eudld运动、相似变换和反演， 平面MZ的共形儿何学的基本群同构于射影群的一子群，即兰维射影空间只的把某一个二阶卵形面，椭圆型二次曲面)变为其自身的射影变换子群，即七维空间的双曲运动群，这使得人们能够应用一个与被用于非Eud记几何学中的类似的解析结构于共形儿何引 只的每一点由四个齐次坐标戈，一!，…‘引或庄具有这些坐标的伪向量x确定设 (xy)=xl夕1十x沙:一‘x沙:一义妙4是关于两向量x，y的万个形式，且设K是凡中比方程心+不+一斌一心二0或由(xx)=O定义的椭圆型一次曲面.对于K的外部点，有(娥)>()，对于K的内部点，有(双)‘:0.利用绝对形人，可以施行球极平面投影(stereograPhic Projection)，把绝对形上和其外部的点变为共形平面以及其圆的集合凡的点的坐标x(‘=l一，4)称为平面M:上点与圆的四回坐标(tetracyclic伽rdinates).由于在球极平面投影下，绝对形卜的点变为平面中的点，而绝对形外部的点变为平面中的圆，所以具有绝对形K的只中的双曲运动群对应于平面的这种变换群，其变换把点变为点，把圆变为圆，即平面的共形几何学的基本群.这个群可由下述公式解析地给出: 4 *二=艺r走x，，k二l，.，4;de:!{尸戈}}括0， 卢二二I其中x和对是一点在变换前后的坐标.巨具有如下约束，即表达式 (xx)二对+邓+瑞一后与 (x’x’)=(x;)，十(x三尸斗(x之)2一(x;)2仅相差一个因子设 ‘，=P’l川+尸娜十P洲一P训，则该二次型保持的条件可写为产二心、，二。22=。

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