补充资料：多元函子

多元函子
multi-fuDctor

多元函子汇m过“币.比犷;M即ro柳cT.‘亩勿~oP]，多位函子(multi~pla印几nd力r) 一种有多个自变量的函数，定义于多个范畴上，取值于一个范畴(份魄。甲)内，并对每一个自变量都给出一个l位函子.更准确地说，设已给定。个范畴究，，二，凡，作E哈泪叮晗积范畴屁=而:x~·x而。其中每一个不或为提‘或为其逆范畴R::作用在只上取值于范畴C内的1位共变函子F称为究:，…，只，上取值于C内的n位函子(。一ph此丘md幻r).函子F对于与只中的因子只‘相应的自变量是共变的，而对于其余的自变量是反变的. 给定映射F:究~C所必须满足的条件如下(在n=2的情况，对第一个自变量反变而对第二个共变).函子F:只:x只:~塔使每一对的对象(A，B)，A。ob兄、，B‘ob只:，对应一个对象F(A，B)eob塔，并使每一对态射(:，刀)对应一个态射F(a，刀)“MorC，这里 截A~A:“Mor获:，刀:B~B:任Mor只2， F(“，口):F(A、，B)~F(A，B，)‘Mor‘，它们满足下列的条件: l)F(l，，l，)=l，(，，，)，A，B是任何一对对象; 2)若::A~A.，以1:A:~AZ，“，“:‘MorR:，刀:B~B:，吞.:B，~BZ，口，口t‘Mor虎2，则 F(“，“，刀，刀)二F(“，刀，)F(“:，口)· 多元函子的例子. A)设只是一个有有限积的范畴.于是n个对象之积就能被看成是一个n位函子，它定义于凭”二凭x…x只(n次)上且取值于虎中，对所有的变量都是共变的.对于余积可以构造类似的函子，等等. B)设只是任意的一个范畴.对凭的每一对对象A，B，取态射的集合H:(A，B)与之对应，并对每一对态射::A~A，，口:B~B，，定义映射凡(:，P):H，(A:，B)~H，(A，Bl)如下:如果毋:A，~B，则H:(“，刀)(甲)=刀伊二·这个构造给出了从凭’x贷到集合的范畴的一个2位函子，它对第一个变量是反变的，对第二个是共变的. 如果只是一个加性范畴(幻d旧说。娜护汀)，则此函子可被看成是取值于Abel群范畴中的函子. C)设只是一个有有限积的范畴.考虑积为一个2位的函子x:只x只~又，那么，在合并例A)与例B)后，就可以构造3位函子H:(A，B xC)与H:(A xB，c).第一个函子自然等价于函子H，(A，B)xH，(A，C).如果C是集合的范畴(sets，。lte-即ryof)，第二个函子就自然等价于函子匀。(A，H。(B，C)). D)设口为一个小范畴(slllallcategory)，并设F(e，C)为集合范畴巧上有概形0的图的范畴，即，l位共变函子与它们的自然变换的范畴，对两个自变量都共变的一个2位函子E:0 xF(0，C)~巧构造如下:如果ACob口且F‘ObF(口，C)，则E(A，F)=F(A);如果叭A~B〔MorO，且‘F~G是一个自然变换，则E(:，。)=a。F(:)=G(:)a月.函子E叫做“评价函子”.这个函子自然等价于函子Nat(H，，F):口xF归，C)~毯，后者将一个对象A‘0与一个函子F:0~C对应于可表示函子( rePre-义肛恤blefLmCtor)H，到F的自然变换的集合(米田引理(Yon成址kmlr以)).M.lll.玖a二e。。撰【补注】2位函子通常称为双函子(b沮川d刀r).

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