实数, 是一种能和数轴上的点有一对一的对应关系的数。本来实数只唤作数，後来引入的虚数概念，原本的数称作“实数”——意义是“实在的数”。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正数，负数和零。实数集通常用字母r或<math> \bbb </math>表示。而用 rn 来代表 n 维实数空间 (n-dimensional real space)。

实数可以用来测量连续的量的。 实数是不可数的。 理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列(可以是循环的，也可以是非循环的)。 在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数(保留小数点後n位，n为正整数)。 在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数(floating point numbe）

历史

埃及人早在公元前1000年就开始运用分数了。在公元前500年左右，以毕达哥拉斯为首的希腊数学家们就意识到了无理数存在的必要性。印度人于公元600年左右发明了负数，据说中国也曾发明负数，但稍晚于印度。 在1871年，德国数学家康托尔最早地全面地给出了实数的定义。

从有理数构作实数

实数可以不同方式从有理数（即分数）构作出来，详见实数之构作。

公理系统

如果 r 是所有实数的集合，则：

集合 r 是一个体： 可以作加、减、乘、除运算，且有如交换律，结合律等运算规律。

集合 r 是有序的：设 x, y 和 z 为实数，则：

若 x ≥ y 则 x + z ≥ y + z;

若 x ≥ 0 且 y ≥ 0 则 xy ≥ 0.

集合 r 是完整的：设 r 的一个非空的子集合 s (<math>s \in r, s\ne\emptyset</math>), 如果 s 在r 内有上限，那幺 s 在 r 内有最小上限。

最後一条是区分实数和有理数的关键。例如所有平方小于2的有理数的集合存在有理数上限(1.5), 但是不存在有理数最小上限(<math>\sqrt2</math>)。

实数是唯一适合似上等特性的集合：亦即如有两个如此集合，则两者之间必存在代数学上所称的域同构，即代数学上两者可看作是相同的。

15 (整数)

2.121 (有限小数)

1.3333333... (无限循环小数)

3.1415926... (无限不循环小数)

<math>\sqrt3</math> (无理数)

<math>\frac1 3</math> (分数)

特性

完备性

实数集是拓扑完备的测度空间或一致空间，它有以下特性：

所有实数的柯西序列都有一个实数极限。

有理数集并非拓扑完备，例如 (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理数的柯西序列却没有有理数极限。但它却有个实数极限 √2。实数集是有理数集的空备化——这亦是其中一个构作实数集的方法。

极限的存在是微积分的基础。实数的完备性等价于欧基里德几何的直线没有“空隙”。