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1)  (-n)-order Mandelbrot fractal image
负n阶Mandelbrot分形图
1.
This paper proves that in(-n)-order Mandelbrot fractal image there are n+1symmetric axes which have equations:z=re i(2j-1)πn+1 (j=1,.
证明了负n阶Mandelbrot分形图M-n具有n+1条对称轴,其方程为z=rei(2j-1)πn+1(j=1,…,n+1;r为实数)。
2)  Weierstrass-Mandelbrot random fractal function
Weierstrass-Mandelbrot随机分形函数
3)  nth-order fBm
n阶分形Brown运动
4)  J fractal image
高阶J-分形图
5)  distribution of negative edges of the polygon
n边形的负边分布
6)  difference of n-th order
n阶差分
补充资料:二阶变分


二阶变分
second variation

二”套蕊穿黑磊票暴麟篇粼纂架的变分(variation of a ftmctional),G狱eaux变分(伪teauxvariation)),推广了多元函数的二阶导数的概念.它用于变分法.按一般定义,定义在赋范空间X上泛函f(x)在点x。的二阶变分是 d2 占‘f(“。,”)一~方f(x。+亡h)}:二。·如果一阶变分是零,则二阶变分的非负性是f(x)在x〔、有局部极小值的必要条件,而严格正性 占’f(x。,h))“l}入}1’,“>o是充分条件(在一定的假设下). 在经典变分法的最简单(向量)问题中,在C’类向量函数类上考虑的具有固定边界值x(t。)=x。,x(r,)=义,的泛函 之.z(*)一J:(。,、,*)、:;::【。。,::,xR·xR一R、 ‘o的二阶变分有形式 仁. 。2,(、。,、)一丁(<,(:)、(。),入(。)>+(·) r幻+2+)dt,这里<·,·>表示R”中标准内积,而A(r),B(r),C(t)是关于系数 日ZL日ZL日ZL 刁又刁交’日x日又’口x口x的矩阵(导数是在曲线x。(t)的点上取值).不但在空l’d]C’上,而且在更广的具有平方可积的导数模的绝对连续向量函数空间评;上考虑由(,)定义的h的泛函是合适的.在这种情形下,二阶变分的非负性和严格正性用矩阵A(t)的非负性和严格正性(Legendre条件(Legendre condition))和没有共扼点(血cd比条件(Jacobi co威tion))来表述,这些是变分法中对弱极小值的必要条件. 对于不一定提供极小值(但是如前面一样满足Legend化条件)的极值曲线的二阶变分的一种研究已在大范围变分法(variational calc川us in the large)中开展(【1〕).最重要的结果是二阶变分的M谊se指数(Morse让ldex)与区间(r。,t,)上与t。共扼的点的数目相同(121).
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参考词条