快速傅氏变换 英文名是fast fourier transform

快速傅氏变换（fft）是离散傅氏变换(dft)的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。

设x(n)为n项的复数序列，由dft变换，任一x（m）的计算都需要n次复数乘法和n-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出n项复数序列的x（m）,即n点dft变换大约就需要n2次运算。当n=1024点甚至更多的时候，需要n2=1048576次运算，在fft中，利用wn的周期性和对称性，把一个n项序列（设n=2k,k为正整数），分为两个n/2项的子序列，每个n/2点dft变换需要（n/2）2次运算，再用n次运算把两个n/2点的dft变换组合成一个n点的dft变换。这样变换以后，总的运算次数就变成n+2（n/2）2=n+n2/2。继续上面的例子，n=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的dft运算单元，那么n点的dft变换就只需要nlog2n次的运算，n在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是fft的优越性。