补充资料：集论

集论
Set theory

集论(set theory) 集论是研究集合或集的一个数学名称。考察一些对象(如点、盘子、方程、化学制品、数或曲线等)的集合，这个集合可以用某个符号如X来表示。不考虑集X中的元是什么，而只了解X有哪些性质，这是很有用的。X的基数性就是这样一种性质。 集的基数性两个集A与B，当A的元与B的元之间存在一一对应的关系时，就称它们有相同的基数，记作C(A)一C(B)。对有限集来说，这一记号与“A的元的个数和B的相同”这一说法是一致的。但对无限集来说，上述定义引出一些有趣的推断。例如，令A表整数集，B表奇整数集。函数f(n)=2n一1表明c(A)~C(B)，所以一无限集可以与它自身的一部分或子集有相同的基数。 子集如A的每一元都是B的元，则称A是B的子集，记作AcB，奇整数的集合是实数集的子集。每一集也是它自身的子集。 连续统假设一无限集如果不能和正整数一一对应，则称为不可数的。这里有集论中未解决的问题之一，它特别有趣，因为不知有多少数学家试图解答它而没有成功。这问题是:若X是实数集R的一个不可数子集，问C(X)是否等于C(R)?估计答案是肯定的，即叫做连续统假设。已经证明，用集论的通常公理不能求得答案。 集的基数性的比较如果A的元与B的一子集的元之间存在着一一对应，就说c(A)(c(B)。一个有用的定理(这是可以证明的)断言:任何两个集A，B可以比较，也就是指C(滩)(C(B)或者C(B)簇C(A)(也可能二者同时成立)。另一足理断言:如C(A)镇C(B)，同时又有C(B)(C(A)，则必C(A)~C(B)。这些结果可以运用将A与B整序来证明。 排次序排次序是在两个有相同墓数的集之间建立一一对应关系的一种方法。对于一集X，满足下列条件的关系<就是一个次序关系; 1.如x，，xZ是X的两个不同元，则，或者xlQ表示“尸在Q的左边”，在实数集里，<表示“小于”;字典中宇的集合，是按字母排次序的。 良序若一个集X的次序还满足下面的补充条件，则称其为良序: 4.X的每一非空子集Y总有第一个元，即Y中有这样一个元y。，使对y中的其他元夕，总有y。<夕，。 正整数的自然次序是良序的，但是整数也好，实数也好，其自然次序都不是良序的.整数的一个良序是。，1，2，…，一1，一2，….因为写不出实数的良序，会猜测它不存在良序。下面的定理指出这一猜测是错误的，定理说，任何集X都有良序。为了证明这个定理，我们考虑X的一切非空子集的集合Z，并在Z的每一元礼(是X的一子集)中选取一点x。一f(z。)，并把X这样来良序化:如果S。是X。前面的一切元的集合，则二。~f(Z一S。)。 用良序来证明的某些定理非常奇怪.它们的正确性在直观上并不明显。也可用良序来构造一些病态例子，作为各种猜想的反例。这些反例很有用，因为它们指出猜想是错的，从而试图去证明是无用的。 集的形成考虑一已知集X的某些元所具有的性质尸，是形成集的一个有效办法。X中具有性质尸的元的集可以看作是一集Y。式子户任X表示P是X的元这一事实，于是Y一{P}PeX且P有性质尸}。另一有效办法是考虑一已知集X的一切子集的集Z。可以证明这时有C(X)

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