1) multilinear forms
多重线性型
1.
Multi-designated verifiers signature based on multilinear forms;
基于多重线性型的多指定验证人签名
2) symmetric multilinear form
对称多重线性型
3) multilinear form
多重线性形式;多重线性型
4) antisymmetric multilinear form
反对称多重线性型
5) linear multiple regression model
线性多重回归模型
6) multi-linear regressive model
多重线性回归模型
1.
The paper,viewed from the aspects of economy,country,society,universities and students,sets up a multi-linear regressive model,with which the qualitative and quantitative analysis on the university tuition has been done.
从经济、国家、社会、高校及学生等五个因素,建立了学费多重线性回归模型,对高校学费进行了定性和定量的分析;为反映以往年份应收学费与实收学费之间的偏差,建立了灰色GM(1,1)模型与时间序列模型。
补充资料：线性型
又称线性函数或线性齐式，是域F上的线性空间V到域F上的一个线性映射。如果??是从V到F的映射,对V的向量尣、y，F的元素α、b满足??(α尣+by=α??(尣)+b??(y),那么??就称为V上的线性型或线性映射。若e1，e2，...，en是V 的一组基，则V 的每一个向量尣 都可表成
,式中xi在F中，i=1,2,...,n。因此对于V上的线性型?? 有或记成 ,式中记??(ej)=αj,i=1,2,...,n。若x 视为V 中的变元,则x1,x2，...,xn就可看作取值于F 的变元。因此，在基{e1,e2,...,en}之下，线性型??就是F上n个变元的线性齐次函数。当V的基取定时，??就由Fn的一个n元向量(α1,α2,...,αn)惟一确定。 V上的线性型全体按通常的函数加法与纯量乘法构成F上的一个线性空间，且与Fn同构。
如果V1、V2都是F上的线性空间， 是V1与V2的笛卡儿积,从V1×V2到F的映射φ，对于V1的向量尣，尣1，尣2；V2 的向量y，y1，y2；F的元素α1，α2，b1，b2，满足
那么φ称为V1与V2上（或V1×V2上）的双线性型，或双线性函数或双线性齐式或双线性映射。若e1,e2，...,em与??1，??2，...，??n分别为V1与V2的基,，则式中在F中，由此可知,φ由矩阵A惟一确定，且可视为F上的两组变元x1，x2,...,xm与y1，y2，...,yn的双线性齐次函数。在V1与V2的基都选定时，V1×V2上的双线性型全体按通常的函数加法与纯量乘法组成一个F上的mn维线性空间，且与Fm×n同构。当V1与V2的基都改变时，V1×V2上的双线性型φ对应的矩阵，就变成由相应的演化矩阵惟一确定的等价矩阵。例如，这里p和Q分别为F上的m阶和n阶方阵,由坐标变换公式:
可得
因此，B=pAQT,式中。j=1,2,...,m;k=1,2,...,n。对于V1与V2的任意基,φ所对应的矩阵有相同的秩，这个公共的秩称为 φ的秩，记为rankφ。当rankφ=r时，φ的标准形式（即在V1与V2的某基下φ的最简单形式）为
， (1)此即表明,对两组旧变元x1,x2,...，xm与y1,y2,...，yn，总可经满秩的线性变换,使φ对两组新变元x媹,x崉,...,x怬与y媹，y崉，...，y怽取(1)的形式。
在V1=V2=V时，若双线性型φ对于V的任意向量尣、y有φ(尣,y)=φ(y,尣),则φ称为对称双线性型;若有φ(尣,y)=-φ(y,尣)，则φ称为反对称双线性型。当V的基取定时,对称双线性型所对应的矩阵 A必为对称矩阵；反对称双线性型所对应的矩阵必为反对称矩阵。当V的基改变时,对称双线性型对应的矩阵A变为它的合同矩阵B=pApT，因此，可用对称矩阵的性质全面地描述对称双线性型的标准型等性质。例如，F=实数域 R,于是,每个实对称双线性型在正交变换（即 p为正交矩阵）下都可化为实正交标准型，式中λ1,λ2,...,λr是φ在任意基下对应的矩阵A的全体非零特征值。在复数域 C上，若只要求线性变换为满秩的，则它的标准型如 (1)所示。反对称双线性型可用反对称矩阵的性质描述和研究。
域F上的k个线性空间 V1，V2，...，Vk的笛卡儿积，按通常的向量加法和纯量乘法成为 F上的一个线性空间，若，若对j=1,2,...,k满足
式中尣l∈Vl,l=1,2,...,k;尣徾∈Vj,α、b∈F, 则φ称为V1×V2×...×Vk上的k重线性型或k重线性映射。当k≥3时统称为多重线性型。
域F上的线性空间V的全体线性型，按通常的函数加法与纯量乘法,是F上的一个线性空间,记为V*。V*称为V的对偶空间，又称为V的关联空间或共轭空间。可以证明,当diтV是有限时,则diтV=diтV*。因此,V≌V*。这一结果在diт V是无限时不再成立。如果V的基{ej}与V*的基 式中δjk为克罗内克符号，那么这两组基底称为对偶基。用对偶基来描述线性型是很简单的。
若在域F上的k个线性空间V1，V2，...，Vk中,一些线性空间是另一些线性空间的对偶空间，则可引入混合张量的概念（见多重线性代数）。线性型已成为线性代数的一个重要内容。
,式中xi在F中，i=1,2,...,n。因此对于V上的线性型?? 有或记成 ,式中记??(ej)=αj,i=1,2,...,n。若x 视为V 中的变元,则x1,x2，...,xn就可看作取值于F 的变元。因此，在基{e1,e2,...,en}之下，线性型??就是F上n个变元的线性齐次函数。当V的基取定时，??就由Fn的一个n元向量(α1,α2,...,αn)惟一确定。 V上的线性型全体按通常的函数加法与纯量乘法构成F上的一个线性空间，且与Fn同构。
如果V1、V2都是F上的线性空间， 是V1与V2的笛卡儿积,从V1×V2到F的映射φ，对于V1的向量尣，尣1，尣2；V2 的向量y，y1，y2；F的元素α1，α2，b1，b2，满足
那么φ称为V1与V2上（或V1×V2上）的双线性型，或双线性函数或双线性齐式或双线性映射。若e1,e2，...,em与??1，??2，...，??n分别为V1与V2的基,，则式中在F中，由此可知,φ由矩阵A惟一确定，且可视为F上的两组变元x1，x2,...,xm与y1，y2，...,yn的双线性齐次函数。在V1与V2的基都选定时，V1×V2上的双线性型全体按通常的函数加法与纯量乘法组成一个F上的mn维线性空间，且与Fm×n同构。当V1与V2的基都改变时，V1×V2上的双线性型φ对应的矩阵，就变成由相应的演化矩阵惟一确定的等价矩阵。例如，这里p和Q分别为F上的m阶和n阶方阵,由坐标变换公式:
可得
因此，B=pAQT,式中。j=1,2,...,m;k=1,2,...,n。对于V1与V2的任意基,φ所对应的矩阵有相同的秩，这个公共的秩称为 φ的秩，记为rankφ。当rankφ=r时，φ的标准形式（即在V1与V2的某基下φ的最简单形式）为
， (1)此即表明,对两组旧变元x1,x2,...，xm与y1,y2,...，yn，总可经满秩的线性变换,使φ对两组新变元x媹,x崉,...,x怬与y媹，y崉，...，y怽取(1)的形式。
在V1=V2=V时，若双线性型φ对于V的任意向量尣、y有φ(尣,y)=φ(y,尣),则φ称为对称双线性型;若有φ(尣,y)=-φ(y,尣)，则φ称为反对称双线性型。当V的基取定时,对称双线性型所对应的矩阵 A必为对称矩阵；反对称双线性型所对应的矩阵必为反对称矩阵。当V的基改变时,对称双线性型对应的矩阵A变为它的合同矩阵B=pApT，因此，可用对称矩阵的性质全面地描述对称双线性型的标准型等性质。例如，F=实数域 R,于是,每个实对称双线性型在正交变换（即 p为正交矩阵）下都可化为实正交标准型，式中λ1,λ2,...,λr是φ在任意基下对应的矩阵A的全体非零特征值。在复数域 C上，若只要求线性变换为满秩的，则它的标准型如 (1)所示。反对称双线性型可用反对称矩阵的性质描述和研究。
域F上的k个线性空间 V1，V2，...，Vk的笛卡儿积，按通常的向量加法和纯量乘法成为 F上的一个线性空间，若，若对j=1,2,...,k满足
式中尣l∈Vl,l=1,2,...,k;尣徾∈Vj,α、b∈F, 则φ称为V1×V2×...×Vk上的k重线性型或k重线性映射。当k≥3时统称为多重线性型。
域F上的线性空间V的全体线性型，按通常的函数加法与纯量乘法,是F上的一个线性空间,记为V*。V*称为V的对偶空间，又称为V的关联空间或共轭空间。可以证明,当diтV是有限时,则diтV=diтV*。因此,V≌V*。这一结果在diт V是无限时不再成立。如果V的基{ej}与V*的基 式中δjk为克罗内克符号，那么这两组基底称为对偶基。用对偶基来描述线性型是很简单的。
若在域F上的k个线性空间V1，V2，...，Vk中,一些线性空间是另一些线性空间的对偶空间，则可引入混合张量的概念（见多重线性代数）。线性型已成为线性代数的一个重要内容。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条