1) Quadratic field
二次域
1.
An extension of Brown Graha, on imaginary quadratic field is given base on Brown Graha Theorem.
在将 Brown- Graha定理在虚二次域上进行深化的基础上对 Brown- Graha定理进一步在二次域集上进行了深化 ,其使用范围更广泛 ,应用更方便 。
2.
In this note, the author gives a better method to find all DFT over risidue classes ringof integers in the quadratic field by less calculations.
本文将对二次域中整数剩余类环上的ＤＦＴ给出较满意的解决。
3.
In this paper we shall discuss the problems of basic form numbers—Pronic numbers , triangular numbers and pentagonal numbers in two recurrent sequences {U_n} and {V_n}, which arising in the units U_n + V_n3 =(2+3)~n of quadratic field Q (3).
本文将对二次域Q ((3)~(1/2))中单位U_n + V_n3~(1/2) =(2+(3)~(1/2))~n所给出的两个递归数列{U_n}、{V_n}中的基本形数--Pronic数、三角数、五角数进行研究,给出了完整的结果。
2) quadratic number field
二次域
1.
In this paper, with Siegel-Tatuzawa Theorem we give an upper bound of the fundamental critical form for the quadratic number field whose all ideals areAmbiguous ones.
本文运用Siegel—Tatuzawa定理讨论了任一理想均为Ambiguous理想的二次域Q(d～(1/d))的基本判别式d的上界问题。
2.
In this paper,for any ideal class of the real quadratic number fields,the authors give the obvious value at-3 of its zeta-function,by using the continued frac- tions.
用简单连分数给出了实二次域理想类的Zeta-函数在-3处值的一个具体的计算公式。
3) quadratic field
二次数域
1.
In this paper, the sufficient conditions that there s no present of Euclidean algorithm in some quadratic fields are given.
给出了某些二次数域中不存在Ｅｕｃｌｉｄ算法的一个充分条件。
4) Imaginary quadratic field
虚二次域
1.
The divisibility of class numbers of imaginary quadratic fields;
虚二次域类数的可除性(英文)
2.
Let D be a positive integer with square free, and let h(D) be the class number of imaginary quadratic field Q(-D) In this paper, we prove that if D7(mod8), then the positive integer solutions (x,y,n) satisfy 5 gcd (n,h(-D))n.
设D是无平方因子正整数,h(-D)是虚二次域Q(-D)的类数。
3.
In the paper,an extension of Brown-Graha theorem on imaginary quadratic field is given.
在虚二次域上深化了Ｂｒｏｗｎ－Ｇｒａｈａ定理，用代数数论工具得到了整系数多项式不可约的判别法，其方法应用较为方便。
5) real quadratic fields
实二次域
1.
In this note, we prove a congruence relation on real quadratic fields which relates class number and certain character sum.
本文证明了关于实二次域的类数和某类特征和的同余式,同时给出某类实二次域的类数可除性的一个判别法则。
6) real quadratic field
实二次域
1.
An upper bound for class numbers of real quadratic fields Q(p～(1/2)) with p≡3(mod4);
实二次域Q(p～(1/2))(p≡3(mod4))类数的上界
2.
Let h andεdenote the class number and the fundamental unit of the real quadratic field Q(p~(1/2)), respectively.
设素数P≡1(mod4),k,ε分别表示实二次域Q(p~(1/2))类数和基本单位。
补充资料：二次域
有理数域Q的二次扩域。每个二次域都可表示成其中d 不等于1是无平方因子的有理整数，按照d>0和d<0，分别称K为实二次域和虚二次域。
二次域是除了有理数域之外最简单的一类代数数域。它有如下较简单的数学结构和特性：
① K的（代数）整数环为OK=Z[ω]，即K中每个（代数）整数均可写成α+bω，其中α、b∈Z,而（当d呏2，3(mod4)时）,（当d呏1(mod4)时）。由此可知，K的判别式分别为d(K)=4d和d(K)=d。
② 每个有理素数p在二次域K 中的分解规律为：对于p≥3时，若p｜d(K)，则p是 OK中一个素理想的平方（即p在K中分歧）；若pd(K),当，则p为OK中两个不同素理想的乘积(即p在K中分裂)；当-1，则p在OK中仍生成素理想(即p在K中惯性)。对于素数p=2，若 2｜d(K)，则 2在K中分歧；若2d(K),则必然d呏1(mod4)。当d呏1(mod8)时，2在K中分裂；当d呏5(mod8)时，2在K中惯性。
③ 二次域K 的单位根群记为WK。当时，；当 时,WK={±1，±ω ，±ω2}, 。而对于所有其他的二次域K，则WK={±1}。
④ 二次域K的单位群 UK，指的是整数环 OK中乘法可逆元全体。当 K为虚二次域时,UK=WK，而对于实二次域 K，存在一个单位 ε>1（称为 K的基本单位），使得
⑤ 二次域 的（理想）类数hK也有简单的表达式：当d≤-5时，（对于d=-1和-3，熟知hK=1）；当d>0时，式中D＝｜d(K)｜;ε为基本单位；ln表自然对数；ⅹD是模D（惟一的）实本原特征。
1801年，C.F.高斯发表了他在20岁时所写的数论著作《算术研究》，展现了他的一个杰出的思想，即把有理数域和有理整数环上的许多初等数论问题，放到更大的域和环──二次域和它的(代数)整数环上来研究。他在这些方面的工作，是研究二次域的开端，也是代数数论的一个源头。
二次域有许多研究课题，其中最著名的是高斯关于类数问题的两个猜想:①只有有限多个类数为1的虚二次域;②存在着无限多个类数为1的实二次域。关于第一个猜想,1934年，H.海布雷恩证明了当d(K)→时,hK→。1935年C.L.西格尔进一步证明了。A.贝克于1966年和H.M.斯塔尔克于1967年各自独立地证明了类数为1的虚二次域只有9个：d=1，2，3,7,11,19,43,67,163。至于第二个猜想,则至今仍未解决。
参考书目
D. B. Zagier,Zeta??unktionen und Quadratische Krper,Springer-Verlag, Berlin, 1981.
二次域是除了有理数域之外最简单的一类代数数域。它有如下较简单的数学结构和特性：
① K的（代数）整数环为OK=Z[ω]，即K中每个（代数）整数均可写成α+bω，其中α、b∈Z,而（当d呏2，3(mod4)时）,（当d呏1(mod4)时）。由此可知，K的判别式分别为d(K)=4d和d(K)=d。
② 每个有理素数p在二次域K 中的分解规律为：对于p≥3时，若p｜d(K)，则p是 OK中一个素理想的平方（即p在K中分歧）；若pd(K),当，则p为OK中两个不同素理想的乘积(即p在K中分裂)；当-1，则p在OK中仍生成素理想(即p在K中惯性)。对于素数p=2，若 2｜d(K)，则 2在K中分歧；若2d(K),则必然d呏1(mod4)。当d呏1(mod8)时，2在K中分裂；当d呏5(mod8)时，2在K中惯性。
③ 二次域K 的单位根群记为WK。当时，；当 时,
④ 二次域K的单位群 UK，指的是整数环 OK中乘法可逆元全体。当 K为虚二次域时,UK=WK，而对于实二次域 K，存在一个单位 ε>1（称为 K的基本单位），使得
⑤ 二次域 的（理想）类数hK也有简单的表达式：当d≤-5时，（对于d=-1和-3，熟知hK=1）；当d>0时，式中D＝｜d(K)｜;ε为基本单位；ln表自然对数；ⅹD是模D（惟一的）实本原特征。
1801年，C.F.高斯发表了他在20岁时所写的数论著作《算术研究》，展现了他的一个杰出的思想，即把有理数域和有理整数环上的许多初等数论问题，放到更大的域和环──二次域和它的(代数)整数环上来研究。他在这些方面的工作，是研究二次域的开端，也是代数数论的一个源头。
二次域有许多研究课题，其中最著名的是高斯关于类数问题的两个猜想:①只有有限多个类数为1的虚二次域;②存在着无限多个类数为1的实二次域。关于第一个猜想,1934年，H.海布雷恩证明了当d(K)→时,hK→。1935年C.L.西格尔进一步证明了。A.贝克于1966年和H.M.斯塔尔克于1967年各自独立地证明了类数为1的虚二次域只有9个：d=1，2，3,7,11,19,43,67,163。至于第二个猜想,则至今仍未解决。
参考书目
D. B. Zagier,Zeta??unktionen und Quadratische Krper,Springer-Verlag, Berlin, 1981.
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
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