补充资料：气体动力学方程

气体动力学方程
gas dynamics, equations of

气体动力学方程【脚如.亩冶，甲叨此仗;ra3。即‘及。u阴.翔yPaaae皿。.」 描述气体状态的气体质量、动量和能量守恒基本定律的数学表达式.气体是大量处于连续浑沌运动的粒子(分子，原子，离子)的集合.单个粒子间的相互作用及其运动的计算是十分困难的，为此，在描述气体状态时采用了一种统计的或连续的方法.在应用这种方法时，气体粒子系综的状态由粒子的分布函数来表征，它定义于一个七维相空间分，“‘，t(i=l，2，3)来一个四维空间丫，t(泣=1，2，3).在前一情况下，研究一标量分布函数 f(x，u，t)=f(x，，x，，x，，u，，u，，。，，t)，其中量丫，矿，亡是连续变化自变量x‘和￡在有界或无界区间内变化，而一的<州<十的.函数f(x，u，t)本身满足BOh吐阴n积分一微分方程〔见B日t-~方程(E劝恤n坦朋阅圈七训);动理学方程(k」11e-tic叫切戒10n))或满足与物理前提有关的其他方程(见Bor彻和石.方程系列(助卯1如bovd坦in苗叫呱tions);B服co.动理学方程(V场刃vki川无c闪碑t沁n)).在后一情况下，描述气体状态的分布函数是一矢量函数 w=笼户，pu’，pu，，户u，，户E}，依赖于四个自变量xl，尹，尸，t，它们全都在区间(一co，的)连续、独立变化.在这一情况下，一个“粒子”，严格地讲，应理解为一气体物质元，它占据无限小体积和具有一定速度u={“，，矿，“，}，速度是自变量x，，x，，x3，t的函数.这里p“p(x，，xZ，扩，t)是气体密度，亦即单位体积的气体质量，E=。+r/2是气体单位质量的总能量，￡是气体单位质量的内能. 在局域热力学平衡的假设下，BoltZn加叮们方程给出气体动力学积分形式的守恒定律.在惯性正交坐标系中， 丈_上刁丫”_上__. 咒’‘dx+才~省莽~d‘dx一:里.F‘d‘dx，‘”这里L，十，是曲面气(m)l)包围的空间体积.关系(1)对具有边界1.的任意体积L。十:在(阴+l)维相空间{x，时=毛x’，…，xm，t}都成立.量w’，公“，尸在三维情况下有下列形式: rwOI「，1 rol }w，}1户u’}。}F，} w一}WZ}一}升一卜F一}尸}，(2) }w，}}puj}{F，} Lw’」L户E」LF“u“」 1 23 艺‘’一艺’“+艺‘·+艺才·， 女‘一}}二{}.;一1.:.3. .日叮k川”一’一’一’ 玲*，一w“、， 2 叮*，=p占‘j+pujj4‘， 丹。，一。，泞1，一a‘，，易2，一a，，，丹，，一a，1， 碗一‘-夕工一。:。: XJ 。·，=冬*过:。·，+;、·，， 2’“一，。r一 If刁、“.。。，1 d.，=d二=今l祥气，十共二，1. 一，ZL刁x岁’ax“J’ k=0，…，4;“，刀，下，i，j=l，2，3.这里p是气体压力，T是气体温度，犷刀是KID朋cker符号，又是压缩粘性系数，群是运动粘性系数，、是导热系数.公式的标记是张量分析中采用的. 对光滑流动，散度形式的微分方程组为 日w于日艺以_ 二兰竺‘+二丫二目一=F‘、(3) 刁t ax区加上状态方程之后，这组方程封闭.热力学平衡时，状态方程的形式假定为 P=P(户，T)，“=。(p，T)，、=、(p，T)，(4) 又=又(p，T)，拜=拼(P，T).如果系统是非平衡的，则这些量可与流动函数的梯度有关. l 表示式(2)有一定的物理意义:艺’·对应质量、 2动量和能量的对流通量;艺‘·对应应力张量球形非 3耗散部分，亦即压力;艺“对应应力耗散部分(粘性、热扩散).此表示式用在分裂方法中获得求解气体动力学问题的有效积分格式. 气体流动可在各种坐标系中描述.除和物理空间固定联结的坐标系—G训印(或Euler)坐标系外，各种运动的，不一定是D留口1巴或C饭旋。的坐标系，也被应用.与气体粒子相联结的1刁郎阴罗坐标系被广泛地使用.在这一系统中，每一物质元有一固定的坐标.在E川er方法中，在每一时刻t，气体状态的参量被定义为某一不动坐标系的点坐标x’，尹，扩(Euler坐标)的函数，而矢量u=u(x，，xZ，x，，r)表示t时刻位于点x’，尹，x3的气体粒子的速度.在助脚n罗方法中，速度u和热力学量值对每一粒子定为时间t的函数.假如用参数创，.扩，犷来指定气体粒子，则气体流动参数将作为时间t和丫，扩，扩(。郎阴邵坐标)的函数而得到.EL叱r或加脚叫笋坐标系间的联系具有形式 x，一;l+丁。官(。1，。2，。3，;)J:，‘一1，2，3. 0这里x‘=x’(叮，，叮，，口，，r)是在t=o时刻位于点丫=丫的粒子的Euler坐标.假如只有一个空间变量，且假如气体动力学变量是连续可微函数，则粘性导热气体的方程有如下的形式. 在E山r坐标下: aP」日(Pu)_八 一妥匕+~:二，匕二2一二0. 日r’日x”’ 刁(o。、.刁f.，刁。1 二性子乙+-;，，Ip+pu‘一拼雀牛I=0， a t axL‘r一’广。xJ旦夕五、一二氏，。。二二1_，，，，川_色「_夕1 一气一‘+~百万.!PuL七+.份]一拜u二万，1=~二二-1 Kes;:，1. 刁。‘“xLr一‘一p’r-’一日xJOxL’‘日x];在l越四卿坐标下: 日v刁“ 任兰一‘二生=0. 日t日q a。.日f口二飞 嚣+百Lp一“p菌」一”， 刁石.日ff口。〕1日f oTI 一策二十爪兀~{“}P一拜P提户~}}=P二甲，}民畏千1 d。口qL一’L‘r-r日、j」r日、L~口、」这里v=l/p，刁x(q，r)/刁t=u(q，r). 在任意运动坐标系情况下，通常最好是根据张量定律同时变换速度分量.假如 x’二x‘(少，，夕，，夕，，r)(5)是空间坐标的变换，而时间坐标保持不变，则映射(5)可与气体流动本身相联系，这时它将决定一依赖此流动的局域坐标系的场.包括改变时间坐标的更通用的变换也是可能的. (3)中小参数几，拼，气，。(。=l/e，是压缩性系数)的分析在气体动力学方程理论和应用中起重要作用.假如又=料=气=O，则(3)为理想气体动力学方程;假如兄二常数，召=常数，丫=田=O，方程(3)为不可压液体的N幽访份，S切山es方程(Navier-Sto比闪田tions).这些方程不是Q匹hy一Ko~‘。型的.假如又=常数，拜=常数，、=O，田=常数，则得到Quchy一Ko‘切eBcKaH型的抛物方程组，但不是强抛物性的.在湍流理论和非N七Wton液体中，系数又，#可能依赖于气体动力学量的梯度， 主定关系(2)以及特别是状态方程(4)，表征了气体动力学方程组(3)的类型及其一系列实质特性.这样，如果 f李1)。，。6、 L日。Js-则对理想可压缩气体(又二拜二K=0)方程组(3)是双曲型的，这里嫡S是由关系(热力学第二定律) 二、一，己粤+、。 P定义.条件(6)是局域的，它依赖于解，并有时可能不被满足.例如，在做derw玉ds状态方程的情况下，条件(6)被破坏，方程成为椭圆型的，解是不稳定的. 守恒定律(I)使有可能组成气体动力学方程的广义解，它不一定是连续的，且不满足气体动力学微分方程(3).气体动力学方程的广义解的完整理论尚未建立起来，但一些最简单的广义解已经全面研究过，它们包括，例如，激波、中心稀疏波、接触流动等.存在一个假说，亦即，理想可压缩气体方程的广义解是粘性气体在又~0和拼~O时相应解的极限.这一论断对一维激波和方程类型为 日u.日u日2“ 亏于+“夭于“料~升于 日t一’ax尸ax，的某些特殊情况已被严格证明.定常的气体动力学方程具有特殊意义，它主要与无限空间中定堂绕流或定常管道流有关.这时，方程组(3)的解与t无关，方程组具有如下形式: 挥以_: 二立三生一=F‘.f7) 刁x区对定常方程组(7)提出某一边值问题，它可能十分复杂，而方程(7)本身既可能是椭圆型的，又可能是混合型的.例如，对理想可压缩气体流动问题，在流动是位势的假设下，在二维情况下，可得方程:「卜江〕2一。刁龚运二、2互奥-全上+LL Ux一」」Lvx一)一口x‘口x‘口x’口x‘ 「「而12，1刁2。 +}{芬黑一}一。，卜导黑丫=0.(8、 比dx‘」一」(口x‘)‘这里。，二。势/口x，，u，=a毋/日x，，沪是速度势，e，是声速平方，它可由氏m ou刀i积分获得 告卜一)2·(一)2」·J一(/)以、，一，，.对方程(8)可以提出绕给定周线l的流动问题: 二一‘，、_r;1 .2‘，、_，;2._日中_n “’‘的)=U孟，u‘f的)=U丈.u_=只兰~二0. -、一，、0，”、一少“。’“”口陀一甘‘这里u。是速度矢量沿周线l法线的法向分量.在(u，)’+(u，)’一e，>0时，方程(8)是双曲型的;在(u，)，十(沪)，一c’<0时，则它是椭圆型的.由椭圆型至双曲型的过渡是可能的(跨声速流动).可以表明，在跨声速流动情况下边值问题是不适定的(见不适定问题(m一p渭“1 prob】e此))，因为周线的极微小变化会使边值问题成为连续函数类中不可解的. 气体动力学不稳定性和湍流是饶有趣味的问题，通常在非自洽方程(orr~Sommerfeld方程，Reyllolds方程)理论的范围内对它们加以阐述.就实际应用意义来说，描述复杂介质(多相介质，非Newton液体，磁流体力学)运动的气体动力学方程，现己变得十分重要.大多数数学物理方程是气体动力学问题线性化的结果.气体动力学问题的数值解可见气体动力学的数值方法(笋d卯alnj岛，nu“犯ri司m以加由of).

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