1) advanced differential difference equation
超前型微分差分方程
1.
This paper deals with the sufficient conditions of the existence of nonconstant oscillating periodic solution of a class of retarded and advanced differential difference equation with n time lags,and the results of the relevant references are extended and improved.
然后给出了超前型微分差分方程ｘ′（ｔ）＝ ｆ（ｘ（ｔ） ，ｘ（ｔ＋ τ１）） ＋ ｆ（ｘ（ｔ） ，ｘ（ｔ＋ τ２）） ＋ …＋ ｆ（ｘ（ｔ），ｘ（ｔ＋ τｎ）） 存在振动周期解的充分条件。
2) differential equation with advanced argument
超前微分方程
1.
Some new oscillation criteria for the second order differential equation with advanced argument [1a(t)x(t)]+p(t)x(t)+q(t)x(σ(t))=0.
建立了二阶超前微分方程［１ａ（ｔ）ｘ（ｔ）］＋ｐ（ｔ）ｘ（ｔ）＋ｑ（ｔ）ｘ（σ（ｔ））＝０的若干新的振动准则。
3) Hammerstein type integro-differential-difference equation
Hammerstein型积分微分差分方程
4) Volterra type integro-differential-difference equation
Volterra型积分微分差分方程
1.
Singularly perturbed nonlinear boundary problem of second order Volterra type integro-differential-difference equation;
二阶Volterra型积分微分差分方程的非线性边值问题的奇摄动
2.
The existence and uniqueness and asymptotic estimates of solution for nonlinear boundary value problem of Volterra type integro-differential-difference equation is studied by means of differential inequality theories.
利用微分不等式理论研究了二阶Volterra型积分微分差分方程非线性边值问题的解的存在性。
5) backward delayed backward stochastic differential equation
倒向随机微分超前方程
1.
Generalized backward delayed backward stochastic differential equations corresponding to stochastic differential delay equations is studied.
研究了对应于正向随机微分延迟方程的倒向随机微分超前方程的解的存在惟一性和对参数的连续依赖性。
6) retarded differential difference equations
滞后型微分差分方程
补充资料：微分差分方程
常微分方程是含有未知函数及其导数的方程，差分方程中含有未知函数及其差分，但不含有导数，微分差分方程是同时含有未知函数及其导数和差分的方程。它同时具有常微分方程与差分方程的特点，而以二者作为特殊情况。从历史发展看，微分差分方程的产生和发展并不是二者形式上的推广，而是来自许多不同学科的实际问题。
对一个物理或技术系统，往往要考虑时间延迟的作用。例如在火箭控制理论中，燃烧室压力x(t)的运动方程为
，压力的变化率凧(t)不仅依赖于当时的压力x(t)，而且明显地依赖于过去的压力状况 x(t-τ)，τ称为时滞，它反映燃料从射入燃烧室加热到即将燃烧的临界状态需要一段时间。这个方程是一种简单的含常数偏差变元的微分方程。
考虑多个时滞的微分差分方程
， (1)式中时滞hk(k=1,2,...,m)为常数,如果这些常数全为正，称(1)为滞后型方程；如果全为负，称(1)为超前型方程。如果方程右端还有导数的滞后项称为中立型方程。对于高阶方程或者方程组也有类似的分类。
20世纪30年代起对偏差变元微分方程进行了系统的研究。R.贝尔曼和K.L.库克(1963)，Л.Э.埃利斯戈尔茨(1964)总结了1960年以前的成果。50年代末H.H.克拉索夫斯基(1959)把偏差变元微分方程放到函数空间来考虑，如(1)中的偏差满足条件，则(1)的右端可看为[t-hm ,t]上函数x(·)的泛函，从而微分差分方程成为推动泛函微分方程发展的基本原型。微分差分方程特别是滞后型方程在物理学、力学、控制理论和技术以及生物学、经济学等领域有广泛的应用。
初值问题 滞后型方程(1)(其中)在时刻t0的初值问题是在初值条件x(t)＝φ（t），-hm≤t≤t0之下求t>t0的解x(t)。通过把这个问题化为常微分方程的分步法，可以讨论解的存在性、惟一性问题,并对简单的方程逐步求解。在区间t0≤t≤t0+hm上等价的常微分方程初值问题为
。设??(t，x，y1,...，ym)在连续，且|??|≤M,φ(t)是区间[t0-hm ,t0]上的连续函数,则在区间 上方程(1)存在满足初值条件 x(t)＝φ(t)，t0－hm≤t≤t0的连续解x（t）呏x（t；t0，φ）。若??(t,x,y1,y2,...,ym)对 [-hm ，0]上每个φ(t)，函数??（t,φ(t),φ(t-h1),...,φ(t-hm)）是连续的,且??关于x,y1,y2,...,yn在 (t0,φ(t0)φ(t0-h1),...,φ(t0-hm)的小邻域内满足李普希茨条件(见常微分方程初值问题)，则上述解是惟一的,并且解关于初值函数φ是连续依赖的。用不动点定理（见不动点理论）和格朗瓦尔不等式可以证明上述存在性和惟一性。对于中立型方程，也可以用分步法求解，但初值函数φ(t)应是可微的。
若?? 关于变量有足够多次的连续导数，滞后型方程(1)的解在向右开拓时,光滑度增加，若012<...m，在(t0+(j-1)hm,t0+jhm)上连续,而在t0+(j-1)hm处一般有第一类间断；至于向t0的左方开拓，即使是一阶方程也不一定可能。
若(1)中时滞hi为t的连续函数，0<τ≤hi(t)≤r,τ，r为常数，以上的存在唯一性的结论仍然成立。
线性微分差分系统 设非齐次线性微分差分方程组为 ， (2) 式中诸Ak(t),Bk(t)是连续的n×n阵,??(t)是连续的n维向量，hk(k=0,1,...,m)是常数且0=h01< ... m。它和常微分方程一样,也有常数变易公式。设Y(α ,t)关于α(α ≤t+hm)是(2)的伴随微分方程的矩阵解，即 满足初始条件Y(α,t)呏0,t<α ≤t+hm;Y(t,t)呏I（恒等阵）,则方程(2)的具有连续可微初值函数的解x(t;t0,φ)，可表示为 这是系统（2）的常数变易公式。若（2）是滞后方程，Ak(t)呏0(k=1,2,...,m),则(4)中关于Ak的和式不出现，也不要求φ(t)可微。
设线性系统为只有一个时滞τ,而A,B为n×n常数阵。置方程detH(s)=0称为(5)的特征方程，它的根称为特征根，特征方程是超越方程，一般有无穷多个根，且全部在某一左半面上，即存在σ0，使一切特征根s的实部小于σ0,若??的增长速度不快于某一指数幂，即有с1＞0，с2＞0,,且??在[0,∞)上连续。对任意的初值函数φ(t)∈C 1([-τ,0])，用拉普拉斯变换可以把(5)的解表示为， (6)式中с是充分大的实数；
稳定性问题 设x0(t)=x(t;t0,φ)是滞后型方程初值问题的解；若对任意的ε>0，存在 δ(ε,t0)，当模 时,不等式成立，则称解x0(t)关于E抝上的扰动为稳定的。由于 (7)的解不一定能向左开拓或只有单侧连续依赖性， 解x0(t)可能关于E掲 上的扰动为稳定,而对某个,关于上的扰动不稳定。因此,方程(7)的解=x(t;t0,φ)为稳定的是指：对任意 ε>0及任意的≥t0，存在δ(ε,),使对任何连续解x(t),当时,成立|x(t)-x0(t)|<ε，t≥。如果δ只同ε有关，则称x0(t)是一致稳定的。如果在稳定的情况下，进一步有
， (8)则称x0(t)为渐近稳定的。如果x0(t)为一致稳定,且对任意η>0，存在δ1(η)及T(η)>0，使当时,｜x(t)-x0(t)｜<η,t≥t0+T成立,则称x0(t)为一致渐近稳定的。对中立型方程凧(t)=??(t,x(t),x(t-τ),凧(t-τ))的解x0(t)的稳定性可类似定义，但在估计在E掲上的扰动时，要用一阶模
。
若常系数线性系统 (9)的特征方程的一切根有负实部，则(9)的零解一致渐近稳定，这时存在M≥1,γ>0，使下式成立：, (10)若有正实部的特征根,则零解不稳定。系统(9)与对应的常微分方程 (11)在稳定性方面的关系如下：若(11)的零解渐近稳定，则对充分小的hm,(9)的零解渐近稳定；若(11)至少有一特征根具正实部,则对充分小的hm，(9)的零解不稳定；若(11)有单特征根零，其余特征根有负实部，则对充分小的hm，(9)的零解稳定。
因为特征方程的根都具有负实部的条件很难验证，特别当线性方程有变系数甚至是变时滞的偏差变元方程，特征根法就不适用，这时主要用李亚普诺夫直接法（见常微分方程运动稳定性理论）。
若线性系统 (12)的零解一致渐近稳定，这时(10)成立。若， (13)式中，则摄动系统的零解一致渐近稳定。这个结论可以用李亚普诺夫方法得到。
对一个物理或技术系统，往往要考虑时间延迟的作用。例如在火箭控制理论中，燃烧室压力x(t)的运动方程为
，压力的变化率凧(t)不仅依赖于当时的压力x(t)，而且明显地依赖于过去的压力状况 x(t-τ)，τ称为时滞，它反映燃料从射入燃烧室加热到即将燃烧的临界状态需要一段时间。这个方程是一种简单的含常数偏差变元的微分方程。
考虑多个时滞的微分差分方程
， (1)式中时滞hk(k=1,2,...,m)为常数,如果这些常数全为正，称(1)为滞后型方程；如果全为负，称(1)为超前型方程。如果方程右端还有导数的滞后项称为中立型方程。对于高阶方程或者方程组也有类似的分类。
20世纪30年代起对偏差变元微分方程进行了系统的研究。R.贝尔曼和K.L.库克(1963)，Л.Э.埃利斯戈尔茨(1964)总结了1960年以前的成果。50年代末H.H.克拉索夫斯基(1959)把偏差变元微分方程放到函数空间来考虑，如(1)中的偏差满足条件，则(1)的右端可看为[t-hm ,t]上函数x(·)的泛函，从而微分差分方程成为推动泛函微分方程发展的基本原型。微分差分方程特别是滞后型方程在物理学、力学、控制理论和技术以及生物学、经济学等领域有广泛的应用。
初值问题 滞后型方程(1)(其中)在时刻t0的初值问题是在初值条件x(t)＝φ（t），-hm≤t≤t0之下求t>t0的解x(t)。通过把这个问题化为常微分方程的分步法，可以讨论解的存在性、惟一性问题,并对简单的方程逐步求解。在区间t0≤t≤t0+hm上等价的常微分方程初值问题为
。设??(t，x，y1,...，ym)在连续，且|??|≤M,φ(t)是区间[t0-hm ,t0]上的连续函数,则在区间 上方程(1)存在满足初值条件 x(t)＝φ(t)，t0－hm≤t≤t0的连续解x（t）呏x（t；t0，φ）。若??(t,x,y1,y2,...,ym)对 [-hm ，0]上每个φ(t)，函数??（t,φ(t),φ(t-h1),...,φ(t-hm)）是连续的,且??关于x,y1,y2,...,yn在 (t0,φ(t0)φ(t0-h1),...,φ(t0-hm)的小邻域内满足李普希茨条件(见常微分方程初值问题)，则上述解是惟一的,并且解关于初值函数φ是连续依赖的。用不动点定理（见不动点理论）和格朗瓦尔不等式可以证明上述存在性和惟一性。对于中立型方程，也可以用分步法求解，但初值函数φ(t)应是可微的。
若?? 关于变量有足够多次的连续导数，滞后型方程(1)的解在向右开拓时,光滑度增加，若0
若(1)中时滞hi为t的连续函数，0<τ≤hi(t)≤r,τ，r为常数，以上的存在唯一性的结论仍然成立。
线性微分差分系统 设非齐次线性微分差分方程组为 ， (2) 式中诸Ak(t),Bk(t)是连续的n×n阵,??(t)是连续的n维向量，hk(k=0,1,...,m)是常数且0=h0
设线性系统为只有一个时滞τ,而A,B为n×n常数阵。置方程detH(s)=0称为(5)的特征方程，它的根称为特征根，特征方程是超越方程，一般有无穷多个根，且全部在某一左半面上，即存在σ0，使一切特征根s的实部小于σ0,若??的增长速度不快于某一指数幂，即有с1＞0，с2＞0,,且??在[0,∞)上连续。对任意的初值函数φ(t)∈C 1([-τ,0])，用拉普拉斯变换可以把(5)的解表示为， (6)式中с是充分大的实数；
稳定性问题 设x0(t)=x(t;t0,φ)是滞后型方程初值问题的解；若对任意的ε>0，存在 δ(ε,t0)，当模 时,不等式成立，则称解x0(t)关于E抝上的扰动为稳定的。由于 (7)的解不一定能向左开拓或只有单侧连续依赖性， 解x0(t)可能关于E掲 上的扰动为稳定,而对某个,关于上的扰动不稳定。因此,方程(7)的解=x(t;t0,φ)为稳定的是指：对任意 ε>0及任意的≥t0，存在δ(ε,),使对任何连续解x(t),当时,成立|x(t)-x0(t)|<ε，t≥。如果δ只同ε有关，则称x0(t)是一致稳定的。如果在稳定的情况下，进一步有
， (8)则称x0(t)为渐近稳定的。如果x0(t)为一致稳定,且对任意η>0，存在δ1(η)及T(η)>0，使当时,｜x(t)-x0(t)｜<η,t≥t0+T成立,则称x0(t)为一致渐近稳定的。对中立型方程凧(t)=??(t,x(t),x(t-τ),凧(t-τ))的解x0(t)的稳定性可类似定义，但在估计在E掲上的扰动时，要用一阶模
。
若常系数线性系统 (9)的特征方程的一切根有负实部，则(9)的零解一致渐近稳定，这时存在M≥1,γ>0，使下式成立：, (10)若有正实部的特征根,则零解不稳定。系统(9)与对应的常微分方程 (11)在稳定性方面的关系如下：若(11)的零解渐近稳定，则对充分小的hm,(9)的零解渐近稳定；若(11)至少有一特征根具正实部,则对充分小的hm，(9)的零解不稳定；若(11)有单特征根零，其余特征根有负实部，则对充分小的hm，(9)的零解稳定。
因为特征方程的根都具有负实部的条件很难验证，特别当线性方程有变系数甚至是变时滞的偏差变元方程，特征根法就不适用，这时主要用李亚普诺夫直接法（见常微分方程运动稳定性理论）。
若线性系统 (12)的零解一致渐近稳定，这时(10)成立。若， (13)式中，则摄动系统的零解一致渐近稳定。这个结论可以用李亚普诺夫方法得到。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条