补充资料：Stieltjes积分

Stieltjes积分
Stidtjes integral

承迢李s积分[S‘灼脚加魄”、;。~ca”眼印幼l R贻m出.积分(R油nanni血gfal)概念的一种推广，体现了一个函数f关于另一函数砚的积分概念.设两个函数f与u在〔a，bl定义且有界，并设a=丸<“0，必有占>o，使得当~△x。<占时，不等式}。一I}<￡成立.如果当~‘△x‘一0时，极限I存在且有限，则称函数f在la，b]上关于函数。是可积的，而称此极限为f关于。的Stie为es积分(S比ltjes in把-g比1)或侧etr以nn一Stie均es积分(R记n坦幻n一StieltjesInteglul)，记为 b ，一丁f(x)己。(x);(2)函数u称为积分函数(jnteg珍 ting兔action).在研究由增函数u定义的直线上的正“质量分布”，而“的不连续点对应着“集中于一点”的质量时，Th.J.Stie】tjes(「1」)想出了这种积分概念. 当积分函数u取函数x+C，C是常数时，所得的特殊情形的Stiel勺es积分就是侧已匡圃叮积分. 当积分函数u为单调增加时，可以研究上和下Darboux一Stle]幼巴和: s=艺M。[。(x‘)一u(、，一，)]， f器] s=艺m‘[u(x，)一u(x卜，)]，(3) 刀昌I其中。‘和M‘分别是f在tx:一:，x，}上的下确界与上确界. 为了Stieltj留积分存在，下列任一条件都是充分的: l)函数f在【a，b]上连续，而函数u在〔a，b]上是有界变差的; 2)函数f在fa，b]上侧en州田田可积，而函数“在Ia，b」上满足Lipschitz条件，即{u(x，)一u(xZ)}(clx:一xZi对[a，b]中任意x，，x:均成立，而C=常数; 3)函数f在〔a，b]上Riemann可积，而函数u在「a，b]上可表示为一个变动上限的积分 u(x)一e+J。(。)、，，其中g是“簇t叹b上绝对可积的函数. 如果条件3)满足，则积分(2)通过公式 bb Jf(x)汉。(二)一丁，(x)。(x)dx(4，化为1劲乓卿积分(玫b荡即e integral).(当g为R元-ma刀n可积时，上式右方是Rien迢nn积分.)特别，当“在【a，b1上具有有界的R~可积的导函数“‘时，(4)成立，此时g=“‘. 若u在【a，b]上关于f可积，则f在【a，b1上关于u也可积.由此定理可以推出另外一些关于Stle均es积分存在的条件.Stiel勾es积分关于被积函数以及积分函数均具有线性性质(假定右边每个Stiel勺es积分存在): b 了[:fl(x)+，几(x)1“u(x)- bb 一:丁.f.(x)己u(x)+。了几(:)d。(x，， 了f(x)d::“、(:)+，。2‘x，]- bb 一:J，(:)d。，(x)+刀Jf(x)doZ(x，·一般地说，S石el苟巴积分无可加性质:积分灿二)d。(二)的存在性不能从积分仁f(x)d。(二)与犷.f(二)du(二)的存在性推出(若“<。

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