补充资料：旋转流体和分层流体流动

    　　旋转流体流动指流体相对于旋转系统的运动；分层流体流动指密度或熵非均匀的流体运动。两者有着密切的联系。大气、海洋、地核和星云等的流体运动经常同时兼有这两种流动现象。旋转流体理论和分层流体理论除了在地球物理领域中有广泛的应用外，前者对研究旋转机械中的流体运动，后者在水利工程和冷却水工程的设计以及能源的开发和利用方面也有重要意义。
　　
　　旋转流体的基本特征和流动现象 　旋转流体和非旋转流体在动力学上的主要区别在于前者有科里奥利力，后者无科里奥利力。科里奥利力效应构成了旋转流体流动的基本特征。科里奥利力效应一般用罗斯比数和埃克曼数表征,其物理意义分别为惯性力与科里奥利力量级之比以及粘性力与科里奥利力量级之比，式中U为流体运动的特征速度；Ω为旋转系统的角速度；L为特征长度；ν为流体的运动粘性系数。由科里奥利力效应所产生的基本流动现象有：
　　
　　准地转流和泰勒烟柱 　当罗斯比数和埃克曼数很小时，作用于流体微团上的力主要是重力、科里奥利力和压力。这种流动称为准地转流（见地球流体力学）。在与旋转轴平行的直线上，这种流动中的所有流体微团具有相同的速度，在作缓慢相对运动的物体与旋转流体之间可以产生一条烟柱。这一现象于1916年在理论上首先由J.普劳德曼所预见，尔后于1921年和1923年由G.I.泰勒的实验所证实。准地转流中的这种二维性质（即在垂直于旋转轴所有平面上的流动状态都相同）就是著名的泰勒-普劳德曼定理。 这个定理指出，在强旋转系统中（即Ro《1和Ek》1）,如果流体相对于障碍物作横向运动，流体就会从障碍物周围绕过，由于准地转流的二维性质,在障碍物的上方也必须保持相同的流动状态,即在障碍物的上方，流体运动很慢,近似于不动的烟柱,和绕相应固体柱的水平运动相同。这种烟柱称为横向流的泰勒烟柱。如图1所示,从泰勒烟柱内部发出的染料条纹比同时从烟柱外部发出的短得多，说明烟柱内的流体运动很慢，近似于静止；还可看出，烟柱以外的流体不进入烟柱内，同流体绕障碍物的流动一样。如果一个圆球平行于旋转轴向上运动，则圆球上下的流体将随圆球象刚体一样平移，形成纵向流的泰勒烟柱。如图2所示,圆球从带有染料的流体底部出发平行于旋转轴向上运动时，在其前后形成一染料柱，这一染料柱表明纵向流泰勒烟柱的存在。
　　
　　辐状惯性波 　在旋转系统中,当流体受到扰动时,由于科里奥利力的回转效应而发生的波，称为惯性波。这种惯性波一般表现为辐状圆锥面的形式，故又称辐状惯性波。在这种系统中，如果任一孤立的单位质量的流体微团受到某种扰动,在垂直旋转轴的任意方向上以q速度运动，则此流体微团在科里奥利力2Ωq的作用下作圆周运动,其运动半径为r=q/2Ω。这种作用于每个流体微团的回转效应在整个流体中产生的波将在与旋转轴成α角的方向上传播，这个方向角α和扰动频率之间的关系为：
　　
　　
　　
　　
　　　ω=2Ω│cosα│式中0≤α≤π。当扰动频率ω大于2Ω时，扰动就不能以波动方式在流体内部传播。当时,惯性波的波
　　阵面为与旋转轴呈角的辐状圆锥面。图 3是这种辐状惯性波的实验显示照片。实验中扰动频率ω与旋转角速度Ω之比为1.75,圆锥面的半顶角为59°，其理论值为56°。
　　
　　罗斯比波 　在旋转系统中几乎垂直于旋转轴但又不完全平行的两个夹层之间的流体由于受到扰动而产生的波。这种波在1939年首先由C.-G.A.罗斯比所研究,故得名。如果在上述系统中是准地转流，则每个流体微团遵循泰勒-普劳德曼定理沿等深度线运动。如果流体微团由于受到扰动移动到另一个不同深度的位置上，则它有回到原来位置的倾向。流体微团具有惯性，因此会发生振荡，从而在运动的流体中形成罗斯比波。这种波的存在取决于旋转和底边界倾斜所造成的联合效应。
　　
　　埃克曼层 　在准地转流和固壁间存在的粘性力起重要作用的剪切层。这一层内的流动由V.W.埃克曼首先阐明，故得名。由于剪切层中粘性力的作用，流体运动速度减小,因而科里奥利力也减小,于是科里奥利力与压力和重力之间失去平衡，流体速度方向也就发生偏转。在边壁处，速度方向与准地转流相比可偏转45°（见地球流体力学）。
　　
　　分层流体的基本特征和流动现象 　分层流体与均匀流体的主要区别在于密度或熵的非均匀性。由于密度或熵的非均匀性，在分层流体中主要产生惯性效应和浮力效应。密度差比较小时，惯性效应不显著，但浮力效应却很重要。这种浮力效应构成分层流体的基本特征。浮力效应可用理查孙数表征，其物理意义为浮力与惯性力量级之比,式中g为重力加速度；ρ₀为流体在平衡状态下的密度;为铅直方向上密度梯度的绝对值。有时也用内弗劳德数（或称密度弗劳德数）
　　
　　
　　
　　来表示。由分层流体的这种浮力效应所产生的基本流动现象有：
　　
　　堵塞现象 　强的分层流体与水平柱体作相对运动时，任何流体都不能绕过柱体，柱体前后的所有流体与柱体之间保持相对静止，物体的运动使它的前后流体象刚体一样平移，这种现象称为堵塞现象。它与旋转流体中的纵向流的泰勒烟柱类似。在流体的实际运动中，由于粘性力的作用，物体的扰动范围总是有限的。圆柱前流体粘性力的作用较小，但在边界层中，粘性力却比较重要，这样就导致上下游流动很不对称。 当Fr_i比较小（雷诺数 Re不是太小）时，堵塞区可以很长（图4）。堵塞区的长度λ同圆柱直径L的比值约等于Re/Fr_i。
　　
　　
　　内波 　在稳定的分层流体中，流体微团受到扰动后具有恢复到原来水平位置的倾向而产生出来的波。内波按其表现的形式又可分为辐状内波、背风波、界面波、格状波、内孤立波等。下面将其中重要的几种稍加说明：
　　
　　①辐状内波 在分层流体中,从扰动源以辐射状沿与铅直轴呈一定角度的方向传播的内波称为辐状内波。产生这种内波的机制，可简单分析于下。
　　
　　假设水平位置z₀处密度为ρ₀的流体微团受到扰动后，在波阵面内从其平衡位置P点经过一段距离S移到ρ′点，铅直方向上移动的距离为Δz=Ssinθ（图5）。单位质量流体微团所受的浮力σ为：
　　
　　
　　
　　。由于波阵面内无压力或其他的变化，则沿波阵面作用在单位质量流体微团上的力为：
　　
　　
　　
　　
　　 ,式中称为布伦特-韦伊塞莱频率。在这种恢复力的作用下，流体微团在波阵面内发生振动，频率为ω＝N|sinθ|。这种内波与旋转流体的惯性波具有完全类似的性质。在分层流体中，这种波从扰动源以辐射状沿与铅直轴呈θ角的方向传播。N是内波可能的最高频率，当扰动频率ω＞N时,这种扰动不可能以波动方式在流体内部传播。上述现象完全为分层流体中振动柱体产生的内波所证实（图6）,其中柱体振动频率ω与布伦特-韦伊塞莱频率N之比为0.9；图中黑铅垂线为圆柱支架。　 在不分层的流体中N＝0，不产生内波； 在海洋底部N²《1,在海洋的温跃层中N²》1，故对某一给定的扰动频率ω，只能在某一深度范围内有波。
　　
　　②背风波　障碍物背风面产生的内波。气象观测表明，在山的背风面，存在着忽上忽下的气流，叫大气背风波。和表面张力波不同，分层流体中的内波总是出现在障碍物的背风面，而表面张力波则出现在障碍物之前（图7）。
　　
　　背风波中存在的周期性上升气流使空气中的水汽凝结成云，在山后看到的云条就是这种背风波存在的迹象。
　　
　　③界面波　两种不同密度的分层流体的交界面和上层自由面在重力作用下发生的波，也是一种内波。
　　
　　如果这两种流体处于相对静止状态，它们的密度差很小,则内波的传播速度比表面波的传播速度小得多,而振幅却大很多。如在深海的咸水上有一层淡水，这时界面波的振幅可以是水面波振幅的10³倍,所以在分层水中航行的船舰会受到异乎寻常的阻力。这一现象是挪威探险家F.南森1893年在北冰洋的航行中首次发现的他在通过下面是盐水上面覆盖一层淡水的区域时，发现船速显著下降，甚至很难前进。不少文献记载，这种海下内波可使潜水艇失去控制,甚至可把一艘300英尺长的潜艇打下去又卷上来，因此界面波越来越引起广泛的重视。
　　
　　异重流 　两种密度不同的流体在重力作用下的相对流动，又称密度流。在自然界中，我们经常遇到密度流，例如暖空气中的冷风，清水中的一股泥浆，河口潮汐造成的盐水楔等（见异重流）。
　　
　　选择取水 　水中温度不同，或悬有浮物、溶解盐分或其他化学物质，都会产生密度差。利用密度差产生的浮力效应可有选择地取得某种水质的水量或在一定的程度上进行控制。选择取水对于能源利用、控制污染物质的排放和水工建设（如防止海水入侵）等都是十分重要的。
　　
　　选择取水研究的另一个问题是如何从两层系统中同时取得上下层的水，防止分离现象的出现。
　　
　　双扩散效应 　设一个容器中的上层是热咸水，下层是冷淡水，且上层水的密度小于下层水的密度，插一根内管把底层的冷淡水引到上层，就可形成源源不断的喷泉。这是由于热扩散使冷淡水变成热淡水，而内管的存在又阻止盐分的扩散，从而使热淡水的密度低于热咸水密度。H.M.施托梅尔在1952年首先做了这个实验，实验装置如图8。如果将内管撤去,只要热扩散效应大于盐度扩散效应（即因热扩散引起的密度减小大于因盐度扩散引起的密度增加），就会发生类似的失稳现象。
　　
　　旋转流体和分层流体的联系 　旋转流体和分层流体具有许多相似的效应，并能产生相似的现象，有时它们还会互相影响。
　　
　　旋转流体和分层流体的类比 　在旋转流体中主要表现为科里奥利力的效应，在分层流体中主要表现为浮力的效应，它们都是作用在流体上的彻体力。这两种力分别在旋转流体和分层流体中都起着恢复力的作用，因而在旋转流体和分层流体中存在许多完全类似的现象,2Ω和N 也就分别成为旋转流体和分层流体的流体微团在相应的恢复力作用下振动的自然频率。这样，可以将旋转流体和分层流体中很不相同的流动现象互相联系起来进行类比，并通过对一种流体中物理现象的研究和了解去发现另一种流体中相应的物理现象。例如，在实验室比较容易创造旋转流体的条件，故可通过旋转水池来研究比较复杂的分层流体的流动。
　　
　　旋转效应和分层效应的耦合作用 　对于旋转系统中有温度变化的流体，旋转效应和分层效应会同时起作用。例如，对一个作高速旋转、上下绝热、内部盛满液体的环形圆筒进行外壁加热,其中热的流体向上向里运动,冷的流体向下向外运动。科里奥利力的作用又力图使上下对流的流体作方向相反的周向运动。在这种流动中形成的许多规则对流泡，使顶部和底部附近的周向流动发生波状弯曲。
　　
　　展望 　旋转流体和分层流体除了上述许多基本特征和流动现象外，还存在需要深入研究的课题和内容。这些课题和内容有：旋转流体和分层流体运动的稳定性问题以及与此相联系的混沌现象；旋转流体和分层流体中的各种非线性波，它们的产生机制和相互作用以及涡旋和湍流的运动等。在研究和解决这些问题时，实验是必不可少的，现代化的测试技术在其中起着关键作用。在理论分析方面，近年发展起来的奇异摄动理论将得到广泛的应用。随着电子计算机和现代计算技术的发展，数值计算在揭示和模拟旋转与分层流体中许多新的流动现象方面将发挥越来越大的作用。旋转流体和分层流体理论的发展，不仅会极大地丰富流体力学的内容，而且还会对大气、海洋、气象的研究以及对能源利用、环境保护和水利工程等方面产生重要影响。
　　
　　

参考书目
　　　H. P. Greenspan, The Theory of Rotating Fluids,Cambridge Univ.Press,Cambridge,1969.
　　　Yih Chia-Shun, Stratified Flows,Academic Press,NewYork,1980.
　　　D.J.Tritton,　Physical Fluid Dynamics, Van NostrandReinhold,New York,1977.
　　　J.S.Turner,Buoyancy Effects in Fluid,CambridgeUniv.Press,Cambridge,1973.
　　

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