补充资料：拓扑张量积

拓扑张量积
topological tensor product

拓扑弓恻吸积[tOI冲】硒cai tensor脚团心;Ton0JI0r“ttecK0eTeo3opooe opo:3oe八e。。e」，两个局部凸空间E，和EZ的 关于E J x EZ上双线性算子有泛性质且满足一连续条件的一个局部凸空间(focally convex sPace).更确切地说，设犷是局部凸空间的某一个类且对每一F〔、丫设给定从E，xE:到F中的分别连续双线性算子集合的一个子集T(F).则E:和E:的拓扑张量积(关于T(F))是有以下性质的(唯一的)局部凸空间E.⑧EZ‘才连同算子B任T(Et⑧EZ):对任何S〔T(F)，F〔‘分，存在唯一的连续线性算子R:E:面EZ~F使得R OB一5.这样，如果说到函子T:分~集合，则E，⑧E:定义为这函子的表示对象. 在所有已知的例子中‘分包含复数域C，而T(C)包含具有fog形式，f〔E;，g任E;，映(x，y)到f(x)g(x)的所有双线性泛函.如果在拓扑张量积存在的情形，则存在一个E;⑧E:中可等同于代数张量积(tensorp代心uct)E，⑧E:的稠密子空间;此外，B(x，y)=义⑧y， 如果分由所有分别(分别地，联合)连续双线性算子组成，则该拓扑张量积称为归纳的(山duetive)(相应地，射影的(Projective)).最重要的是射影拓扑张量积.设毛p，}是E，(i=1，2)中的一个半范数定义族;用二表示用半范数族{P，⑧pZ}定义的E，⑧石1上的拓扑: 尸，⑧尸2(u)二 一‘{、全、二(一，:2(:*，:*艺、一⑧，*一}·如果、·是所有的或相应地，所有完全的局部凸空间的类，则E.和EZ的射影拓扑张量积存在且其局部凸空间是具有拓扑万的EI⑧E:，相应地，其完全化(completion).如果E，是带有范数夕，的确nach空Ib]，i二I，2，则P、因p:是E、⑧石:上的一个范数;关于它的完全化记成E，⑧E2.对每一￡>O，E:⑧百2的元素有表示 。=艺x*⑧y、， k二l这里 、若.。、(x*):2(，*)簇，、⑧，2(。)+。. 如果用半范数族p，⑧pZ 尸!⑧尹2(。)二sun}(f⑧g)(材)} f.f产‘l/x附赋予E、⑧E:一个弱于兀的拓扑，这里V和附是关于p;和p:的单位球面的极集，则产生了一个拓扑张量积，有时称为内射的(injective). 局部凸空间E，，如果具有这样的性质:对一个任意的EZ在￡、⑧EZ上的两个拓扑重合，则它们构力交核空间(nuc贻ar sPaee)这一重要的类. 射影拓扑张量积是与下述的逼近性质相结合的:局部凸空间EI有逼近性质，如果对每一准紧集KCE:和零的邻域U存在有限秩连续算子洲E卫~E，使得对所有x任K有欠一甲(x)‘U.所有的核空间都有逼近性质.Banach空间E，有逼近性质，当且仅当对任意Banacl、空问EZ由方程卜(、⑧力l(f⑧妇=j(卜、)夕(y)确切定义的算子:二[E.⑧EZ}~〔E:⑧E:)’有平凡核.无逼近性质的可分Banaeh空间已经构造出来(【3}).这空间也给出了无Schauder基的Banacl:空间的一个例子，因为有schauder基的Banach空问有通近性质(这样，5.Banach所称的“基问题”已被否定地解决了)，

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