1) radial point interpolation method with unequal-rank polynomial basis
不等阶多项式基径向点插值法
2) radial point interpolation method with unequal polynomial basis (URPIM)
不等阶多项式基的径向点插值法
1.
After the basic theory of radial point interpolation method with unequal polynomial basis (URPIM) is introduced, and then URPIM is applied to calculate the settlement and deformation of expressway subjected to multi-stage loadings on soft ground.
笔者首先介绍了不等阶多项式基的径向点插值法基本理论,接着将其应用到分级施工下的软基高速公路断面沉降计算中,推导出此类问题的系统矩阵方程,并与有限元法解进行了分析对比。
3) radial point interpolation method with equal polynomial basis(ERPIM)
等阶多项式基的径向点插值法
4) radial point interpolation with polynomial basis functions
耦合多项式基的径向点插值法
5) radial point interpolation method with equal-rank polynomial basis (ERPIM)
等阶径向点插值法
6) efficient meshless method
径向基点插值法
补充资料：埃尔米特插值多项式逼近
埃尔米特插值是一种常见的插值方法。假设在区间[α，b]上给定了n个互不相同的点x1，x2,...,xn以及一张数表 (*)记m=α1+α2+...+αn。早在 1878年C.埃尔米特就证明:存在惟一的次数不高于m-1的代数多项式Hn(x),使得
,Hn(x)为表(*)的以 为结点组的埃尔米特插值多项式。如果定义在[α，b]上的函数 ??(x)在xk(k=1，2，...,n)处有αk-1阶导数，并取，则称相应的Hn(x)为??(x)的以为结点组的(α1,α2,...,αn)阶埃尔米特插值多项式。作为特殊情况,若诸αk都为1,则Hn(x)就是??(x)的拉格朗日插值多项式;若n=1，则Hn(x)为??(x)的α1-1阶泰勒多项式。最使人们注意的是诸αk都为2的情况,这时Hn(x)为次数不高于2n-1的代数多项式。如果写
Hn(x)可表示为
在这种情况下，常取,而给以适当的限制。这个想法大致起源于拉格朗日插值多项式的研究。为了改善插值多项式的逼近度，需对其导数作一定的要求。
为了简单，考虑定义区间为[-1,1]的情况。L.费耶尔首先让，称为函数??(x)的埃尔米特－费耶尔插值多项式。如果取切比雪夫多项式Tn(x)=cos(n arc cos x) 的零点全体为结点组, 则有绝对常数с，使得对于[-1,1] 上的任一连续函数??(x)都有式中-1≤x ≤1，ω(??,δ)为??(x)的连续性模。然而，用??n(??,x)逼近??(x)有其饱和性,逼近阶最多为1/n。若关于[-1,1]上的x均匀成立,则??(x)是个常数。但是对于其他结点组，会有较大的差异。例如，取勒让德多项式的零点全体为结点组时,对于[-1,1]上的连续函数??(x)，相应的??n(??,x)仅可能在(-1,1)中内闭一致收敛于??(x)，为了使n→∞时，Fn(??，x)在[-1,1]上一致收敛于??(x)，充分必要条件是。这种在区间端点发生奇异的情况并不很稀有，它促使人们去改变端点的插值情况。P.图兰首先提出在区间端点xon=1,xn+1n=-1处取值与函数取值相同的要求。从而构造了拟埃尔米特-费耶尔插值多项式Q2n+1(??,x),即假定结点组是取在开区间(-1,1)中的,而2n+1次代数多项式Q2n+1(??,x)满足条件，
。这时，如取为Xn(x)的零点全体，则。当然也可以考虑仅在一端插值的情况。然而，倘若将端点作为结点，又会发生剧烈的变化。例如，取,
，则以 为结点组的埃尔米特-费耶尔插值多项式序列Fn+2(??,x)，对于 ??(x)=x2这样好的函数，也会在(-1,1)中处处发散。而取
为结点组时,相应的Fn+2(??,x)对于连续函数??(x)却有逼近阶。埃尔米特插值多项式可以从各方面扩充。例如，可以在某些结点处放弃对某些阶导数的要求，这就是所谓伯克霍夫插值。其中常见的是(0,2)插值,也即对于给定的结点组以及数组,，要确定一个次数不高于2n-1的代数多项式使得，,(k=1,2,...,n)。当取αkn=??(γkn)时，考虑S2n-1(??,x)对??(x)的逼近，也可以考虑埃尔米特插值多项式对函数及其导数的同时逼近。例如，取为结点，对于[-1,1]上的可微函数，考虑
对??(x)及??'(x)的同时逼近。此时有至于对于无限区间或周期函数的情形，自然也可作类似的讨论，只是在周期的情形，有时插值三角多项式却未必存在。
至于??(x)的(α1,α2,...,αn)阶埃尔米特插值多项式Hn(x)对??(x)的逼近,如果??(x)在[α,b]上有m阶导数,则在[α,b]中有与x有关的点ξ使得，式中。
,Hn(x)为表(*)的以 为结点组的埃尔米特插值多项式。如果定义在[α，b]上的函数 ??(x)在xk(k=1，2，...,n)处有αk-1阶导数，并取，则称相应的Hn(x)为??(x)的以为结点组的(α1,α2,...,αn)阶埃尔米特插值多项式。作为特殊情况,若诸αk都为1,则Hn(x)就是??(x)的拉格朗日插值多项式;若n=1，则Hn(x)为??(x)的α1-1阶泰勒多项式。最使人们注意的是诸αk都为2的情况,这时Hn(x)为次数不高于2n-1的代数多项式。如果写
Hn(x)可表示为
在这种情况下，常取,而给以适当的限制。这个想法大致起源于拉格朗日插值多项式的研究。为了改善插值多项式的逼近度，需对其导数作一定的要求。
为了简单，考虑定义区间为[-1,1]的情况。L.费耶尔首先让，称为函数??(x)的埃尔米特－费耶尔插值多项式。如果取切比雪夫多项式Tn(x)=cos(n arc cos x) 的零点全体为结点组, 则有绝对常数с，使得对于[-1,1] 上的任一连续函数??(x)都有式中-1≤x ≤1，ω(??,δ)为??(x)的连续性模。然而，用??n(??,x)逼近??(x)有其饱和性,逼近阶最多为1/n。若关于[-1,1]上的x均匀成立,则??(x)是个常数。但是对于其他结点组，会有较大的差异。例如，取勒让德多项式的零点全体为结点组时,对于[-1,1]上的连续函数??(x)，相应的??n(??,x)仅可能在(-1,1)中内闭一致收敛于??(x)，为了使n→∞时，Fn(??，x)在[-1,1]上一致收敛于??(x)，充分必要条件是。这种在区间端点发生奇异的情况并不很稀有，它促使人们去改变端点的插值情况。P.图兰首先提出在区间端点xon=1,xn+1n=-1处取值与函数取值相同的要求。从而构造了拟埃尔米特-费耶尔插值多项式Q2n+1(??,x),即假定结点组是取在开区间(-1,1)中的,而2n+1次代数多项式Q2n+1(??,x)满足条件，
。这时，如取为Xn(x)的零点全体，则。当然也可以考虑仅在一端插值的情况。然而，倘若将端点作为结点，又会发生剧烈的变化。例如，取,
，则以 为结点组的埃尔米特-费耶尔插值多项式序列Fn+2(??,x)，对于 ??(x)=x2这样好的函数，也会在(-1,1)中处处发散。而取
为结点组时,相应的Fn+2(??,x)对于连续函数??(x)却有逼近阶。埃尔米特插值多项式可以从各方面扩充。例如，可以在某些结点处放弃对某些阶导数的要求，这就是所谓伯克霍夫插值。其中常见的是(0,2)插值,也即对于给定的结点组以及数组,，要确定一个次数不高于2n-1的代数多项式使得，,(k=1,2,...,n)。当取αkn=??(γkn)时，考虑S2n-1(??,x)对??(x)的逼近，也可以考虑埃尔米特插值多项式对函数及其导数的同时逼近。例如，取为结点，对于[-1,1]上的可微函数，考虑
对??(x)及??'(x)的同时逼近。此时有至于对于无限区间或周期函数的情形，自然也可作类似的讨论，只是在周期的情形，有时插值三角多项式却未必存在。
至于??(x)的(α1,α2,...,αn)阶埃尔米特插值多项式Hn(x)对??(x)的逼近,如果??(x)在[α,b]上有m阶导数,则在[α,b]中有与x有关的点ξ使得，式中。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条