补充资料：代数群的形式

代数群的形式
form of an algebraic group

　　代数群的形式【肠肋1 ofana匆如.k粤.甲;中。，”a助re‘p朋邢c肋曲rpyn叫]，定义在城k上的代数群G的 一个定义在域k上并且在k的某一扩域L上与G同构的代数群(诚罗b.心gro叩)G‘.在这一情形，G‘称为G的一个L/k形式(L/k一form).女睬气是k在某一固定的代数闭的基域K(泛区域)内的可分闭包，则k:/k形式就简称为G的k形式.一个群的两个L/k形式称为等价的，如果它们在k上是同构的.G的L/k形式的等价类的集合记作E(L/k，G)(在L=气的情形就记作E(k，G))(见[51，[7]，[8]). 例.令k=R，K=C，则 G/_丁/xy、:、+，_l飞 〔\一yx/’J和 G烈血g(x，力:xy=l}是定义在k上的一般线性群GL(2)的两个子群，而G/是G的一个k形式(定义在K上的同构毋:G产~G由公式_汀x办、一__， 价炸，i))一‘(x+。，二一iy)给出).这个k形式不与G等价(如果将G看成它自己关于恒等同构G~G的一个k形式的话).在这个例子里，集合E(k，句由上述两个k形式所代表的两个元素组成. 代数群的形式的分类问题可以自然地用G曲幽上同调(G山妇cohe明fogy)的语言重新阐述(【31，汇5』).这就是，假设习k是一个G目。is扩张，几，是它的Galais群(赋予Kf山1拓扑).群几/。自然地作用在G的一切L自同构所组成的群AutLG上，同时也作用在G’到G的一切L同构的集合上(在坐标中，这些作用就归结为n/k里的自同构作用到由各自的映射所定义的有理函数的系数上).令中:G‘~G是一个L同构，令。e几*，令扩是中在。的作用之下的象.那么映射几、~AutL口，。巨几=扩。职一，，是几/*的一个连续1上闭链，取值在离散群A以LG内.当中被另一个L同构G‘~G所代替时，这个上闭链变成同一上同调类丙的一个上闭链.这样就产生一个映射E(L/k，G)~甘(几，、，AutLG).对G的形式的这种上同调的解释的最重要一点在于这个映射是一一映射.在这一情形，当所有自同构几都是内自同构时，G‘就称为G的一个内形式(双止坦r form)，否则称为一个外形式(。u比r form). 对于连通可约化群有完善发展了的形式的理论，在这里与代数闭域上线性代数群的结构理论相平行的理论已被建立起来:k根，k一V阳yl群，k上的B山hat分解，等等.在这里，极大k分裂环面起着极大环面的作用，而极小k抛物子群则起着B心心子群的作用(l11，【2]，【6]，「7]).这个理论使得可以将形式的分类问题归结为k上非迷向的可约化群(见非迷向群(田应泪。。-Pic grouP);非迷向核(哪。加picke现d))的分类问题.后者的分类问题本质上依赖于域k的性质.如果k=R而K=C，则半单代数群的形式的刻画与复半单代数群的实形式的刻画是一样的(见块群的泛化(colr甲-k刘断cation ofa比grouP)).
　　

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