补充资料：对部分变量的稳定性

对部分变量的稳定性
stability for a part of the variables

对部分变里的稳定性【劝曲西灯fora钾rtof触叨甘妞加岛;yc，后，“BOc几no，ac翎nePeMe.II以} 常微分方程组 交、二X、(r，xl，…，x，)，S=1，…，n(l)的解x=o对于一部分变量x】，…，x*(k<。)而不是对于所有变量的瓜n，0。稳定性(L界P~v stabili-ty).这里戈(t，x)是已给的实值连续函数，并在区域 kn t)0.丫义2蕊常数y对<的(2) 甘=.J，k十l中满足解x(t;t。，x。)的存在性与唯一性条件.此外 X、(t，0)三0，‘二l，二，n，月.所有的解都定义于整个:)t。)0上，艺少二，对簇H. 令当i=1，…，k时x‘=y，;当j=1，…，m时x*十，=:，，而n=k+巾，m)l;再令 ，‘夕，，一!客夕:〕’‘’，，，·，!一「客·;{’‘’， ‘，·‘，一阵、·:」’‘’.方程组(l)的解x=0称为: a)关于x.，…，x*稳定的(stable rehtiw tox:，…，x*)或夕稳定的(y一stable)，如果 (V￡>O)(V to〔I)(习占>o)(Vx。‘Bj)(Vt日J+): }l夕(t;t。，x。)}4<。，即对任一给定的。>0(:o，使得对每个满足条件l}x。}1毛占的扰动x。以及每个t>t。，解夕(r;t。，x。)满足条件}l夕}]<￡; b)y不稳定的(y一unstable)相反情况，即(日。>0)(己‘{，〔I)(丫占>0)(刁x。〔B。)(日t任J+): }}夕(t:r.、，义。，)}})￡: c)关于t。一致y稳定的(夕一stable uniforr川yinr‘，)，即在定义a)中对每一个￡>o，数占(￡)可以选得与t。无关. d)渐近y稳定的(as功mPtotically夕一stable)，即它是y稳定的，而且对每个t(，)0，必存在一个占，(t。)>o，1使当1}x‘，}1簇占、H寸， 。叭11夕(r;亡.，，x。)11一O·以上I=[O，co)，J+是x(t;t。，x。)定义于其上的最大的右区间;B，二{x任R”;”川}<时;在情况d)中，除了上面提出的条件外还假设方程组(l)的所有解都在【t。，的)上存在. 对部分变量的稳定性问题是A.M.瓜ny日0.提出的(〔11)，它是对所有变量(即k二。)的稳定性问题的推广.对于解这个问题，应用适当修正的瓜u，0.函数(LyaPunov fun ction)方法于y稳定性问题是特别有效的(见【21).这个方法的基础是几个定理，它们推广了经典的瓜IlynoB定理. 考虑一个实值函数V(r，x)〔C，，V(t，0)=0，同时也考虑其对t的全导数(应用(1)): 一a V.声口V V=-二二一十)福拼一X一 次尸:似，一一个有固定符号的函数V(t，x)，若存在一个正定函数评。)，使在区域(2)中 V。，x))W(y)或一V(t，x))W(y)，就说V是y符号定函数(y一sign一由几云比丘川ction)·说一个有界函数V(t，二)对x、，一‘，冬许万个无穷小上界(adl俪taninfini馏i浏dupPerbound)，若对每一个l>O都存在一个又(l)，使当t)O，艺犷。1对<丸一‘0，可以找到一个jZ(。))o，使得由t。，)o，}{夕.，JJ续咨2，o蕊}Jz。J{<的，可以得到以下不等式:对一切t)亡(，， J}夕(t;r。，，x‘，)j}<￡. 宇理4.若方程组〔’)存在一个对‘、，’‘’，‘，(人落p续ll)允许一个无穷小上界的夕正定函数V，其导数V对x尹，…，x，为负定，则方程组(l)的解x二O为渐近夕稳定的. 为了研究y不稳定性，成功地应用了H灯aeB的不稳定定理(见枷珊B函数(Clletaev funetion))和一些其他定理.还得到了一些y稳定性定理之逆成立的条件，例如定理1，定理2和p=k时的定理4之逆.应用了微分不等式和向量瓜卿即B函数的方法来证明整体渐近y稳定性定理和一阶逼近定理等等(见【3」，【4〕).【补注】对部分变量的稳定性也称为部分稳定性(par-tialstabitity)，有时称为条件稳定性(co劝由tionaista-bility)(〔All).但是后一种用语还有别的意思:令C为一类轨道，x(t;t。，x(，)是C中一个轨道.这个轨道称为对C为稳定的(stab」e民lati记toC)，若对已给的。>0存在一个占>O，使对每一个轨道艾(鱿r。，反，，)，由}1、。一又，{}续占可得l}x(t;t。，x。)一艾(t;气，，又，)}簇。.若c不是所有轨道的类，这样一个x(t;t。，x。，)就称为条件稳定的(IAZ]).

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