1) duality theory
对偶理论
1.
An Application of Duality Theory to The Analysis of Economic Equlilbrium;
对偶理论在经济均衡分析中的应用
2.
This paper discuses the relationship between the saddle point of Lagrange function and the optimization solving of the primal optimization problem and its dual problem,with verification of some new features in duality theory.
讨论了非线性优化中Lagrange函数的鞍点与原问题和对偶问题的最优解之间的关系,并对对偶理论中的一些性质给予详细证明。
3.
Discuss the relations between the quadratic semi-definite programming and the semi-definite least squares problem,and study the primal-dual interior point algorithm for this programing based on the duality theory,and give the proof of the unique solution based on the NT search direction.
讨论一类二次半定规划对偶性理论及与半定最小二乘问题的联系,并在对偶理论基础上讨论该规划的原始对偶内点算法,同时给出了基于NT方向的唯一性证明。
2) dual theory
对偶理论
1.
Self-Insurance,Self-Protection and Market Insurance within the Dual Theory of Choice;
对偶理论体系下的自我保险、自我保障与市场保险
2.
According to the dual theory,a simple geometric programming was proposed to derive a corresponding geometric dual problem instead of cross-entropy optimization problem with cross-entropy constraints,which is a concave programming one with linear constrains,leading to a simpler calculation.
根据对偶理论,提出了一个简单的几何规划,该方法把一个带有叉熵约束的叉熵优化问题转化成了一个对偶规划,而对偶规划是一个只需要解决一个带有线性约束的凸规划问题,比较容易计算。
3.
In this paper, a new Hopfields-type neural network for linear programming, which is based on dual theory and makes use of Sigmoid function, is presented.
该网络基于线性规划的对偶理论，并使用了Sigmoid函数，但不需要预先给定的罚参数和乘法模拟器。
3) duality
[英][dju:'æləti] [美][du'ælətɪ]
对偶理论
1.
Furthermore the sufficient optimality conditions and duality results are obtained for a nonlinear programming problem involving B-preinvex functions.
讨论了B-预不变凸函数的一些性质并获得了判定一个函数为B-预不变凸函数的一个充分条件,进而获得了关于B-预不变凸函数的非线性规划问题的充分最优性条件和对偶理论结果。
2.
In this paper,we extend the restricted set X of the programming from open set to locally starshaped set,and extend the η convexity to the η convexity for non differentiable functions,and research on the optimality necessary conditions and the duality of the multi objective programming.
将规划中的约束集X由开集推广为局部星状集 ,将 η 凸性推广到了不可微函数的情形 ,并研究了在这种凸性条件下的多目标规划的最优性必要条件和对偶理
3.
From semidefinite programming duality theory, conditions for infeasibility of the linear matrix inequalitys as well as dual opti.
由半定规划的对偶理论知，线性矩阵不等式的不可行等价于对偶优化问题存在，这些对偶问题反过来可以重新解释系统和控制中的一些结论，得到一些新的结果或对已有结果的新的证明。
4) Duality principle
对偶理论
1.
The positive definite geometric programming is transferred into a nolinear programming with constraints of linear equality by duality principle.
在对偶理论作用下约束正定式几何规划转变为线性等式约束下的非线性规划。
5) Yaari's dual theory
Yaari-对偶理论
6) duality model theory
对偶模型理论
1.
The survey was made on the recent researches of Internet congestion control,exploring mainly the fairness,stability and scalability of the congestion control schemes in the framework of duality model theory,according to several diverse clues of the development of these schemes.
基于对偶模型理论,从公平性、稳定性和可扩展性三个方面结合多个发展线索,对因特网拥塞控制研究的发展和近况进行综述,并阐释和辨析了一些重要概念和算法,如网络拥塞控制算法的公平性概念,基于窗口调整和基于速率调整的端节点算法,调度算法与主动队列管理算法,端节点算法、中间节点算法与对偶模型理论中原始算法、对偶算法及原始-对偶算法的对应关系,基于速率和基于队列的中间节点算法。
补充资料：对偶理论
研究线性规划中原始问题与对偶问题之间关系的理论。
发展简史 在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每一个线性规划问题(称为原始问题)都有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。1928年美籍匈牙利数学家 J.von诺伊曼在研究对策论时已发现线性规划与对策论之间存在着密切的联系。两人零和对策可表达成线性规划的原始问题和对偶问题。他于1947年提出对偶理论。1951年G.B.丹齐克引用对偶理论求解线性规划的运输问题，研究出确定检验数的位势法原理。1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，成为管理决策中进行灵敏度分析的重要工具。对偶理论有许多重要应用：在原始的和对偶的两个线性规划中求解任何一个规划时，会自动地给出另一个规划的最优解；当对偶问题比原始问题有较少约束时，求解对偶规划比求解原始规划要方便得多；对偶规划中的变量就是影子价格。
对偶问题 每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称为对偶问题。原来的线性规划问题则称为原始线性规划问题，简称原始问题。对偶问题有许多重要的特征，它的变量能提供关于原始问题最优解的许多重要资料，有助于原始问题的求解和分析。对偶问题与原始问题之间存在着下列关系：①目标函数对原始问题是极大化，对对偶问题则是极小化。②原始问题目标函数中的收益系数是对偶问题约束不等式中的右端常数，而原始问题约束不等式中的右端常数则是对偶问题中目标函数的收益系数。③原始问题和对偶问题的约束不等式的符号方向相反。④原始问题约束不等式系数矩阵转置后即为对偶问题的约束不等式的系数矩阵。⑤原始问题的约束方程数对应于对偶问题的变量数，而原始问题的变量数对应于对偶问题的约束方程数。⑥对偶问题的对偶问题是原始问题，这一性质被称为原始和对偶问题的对称性。
基本定理 原始问题和对偶问题的标准形式如下：
原始问题
对偶问题
max
z＝cx
min
＝yb
s.t.
Ax≤b
s.t.
yA≥c
x≥0
y≥0
式中max表示求极大值,min表示求极小值,s.t.表示"约束条件为"；z为原始问题的目标函数，w为对偶问题的目标函数；x为原始问题的决策变量列向量（n×1），y为对偶问题的决策变量行向量(1×m);A为原始问题的系数矩阵(m×n),b为原始问题的右端常数列向量（m×1），c为原始问题的目标函数系数行向量（1×n）。在原始问题与对偶问题之间存在着一系列深刻的关系，业已得到严格数学证明的有如下一些定理。
弱对偶定理 若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0和y0,则y0b≥cx0。这个定理表明极大化问题任一可行解的目标函数值总是不大于它的对偶问题的任一可行解的目标函数值。
强对偶定理 若上述原始问题和对偶问题都可行，则它们分别有最优解x*和y*，且cx*=y*b。
最优准则定理 若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0和y0,且两者的目标函数值相等，即y0b=cx0,则两个可行解分别为对应线性规划的最优解。
互补松弛定理 若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0和y0，且u0和v0分别为它们的松弛变量,则当且仅当v0x0+u0y0时，x0和y0分别为它们的最优解。
松弛定理 若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0和y0,且u0和v0分别为它们的松弛变量，则当且仅当v0x0=0 和u0y0=0时, x0和y0分别为它们的最优解。v0x0=0和u0y0=0这两个等式称为互补松弛条件。
对称对偶线性规划 具有对称形式的线性规划的特点是：①全部约束条件均为不等式，对极大化问题为≤，对极小化问题为≥。②全部变量均为非负。列出对称对偶线性规划的步骤是：①规定非负的对偶变量，变量数等于原始问题的约束方程数。②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。⑤把原始问题约束条件中的不等号反向作为对偶问题约束条件的不等号。⑥将原始问题目标函数取极大化改成对偶问题目标函数取极小化。
非对称对偶线性规划 有时线性规划并不以对称方式出现，如约束条件并不都是同向不等式，变量可以是非正的或没有符号约束。列写非对称对偶线性规划可参照原始-对偶表（见表）按下列步骤进行：①规定对偶变量，变量个数等于原始问题约束不等式数。②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。⑤根据原始问题的约束不等式情况，确定对偶变量的符号约束。⑥根据原始问题决策变量的符号约束，确定对偶问题约束不等式的符号方向。
对偶问题的最优解 从原始问题的最终单纯形表中（最优单纯形算子）可直接得到对偶问题的最优解。原始问题中松弛变量的检验数对应着对偶问题的解（符号相反）。在用单纯形法时每一步迭代可得到原始问题的可行解x0和对偶问题的补充解y0,且cx0=y0b,若x0不是原始问题的最优解，y0就不是对偶问题的可行解。最后一步迭代得到原始问题的最优解x*和对偶问题的补充最优解y*，且cx*=y*b。y*是原始问题的影子价格。
发展简史 在线性规划早期发展中最重要的发现就是对偶问题，即每一个线性规划问题(称为原始问题)都有一个与它对应的对偶线性规划问题（称为对偶问题）。1928年美籍匈牙利数学家 J.von诺伊曼在研究对策论时已发现线性规划与对策论之间存在着密切的联系。两人零和对策可表达成线性规划的原始问题和对偶问题。他于1947年提出对偶理论。1951年G.B.丹齐克引用对偶理论求解线性规划的运输问题，研究出确定检验数的位势法原理。1954年C.莱姆基提出对偶单纯形法，成为管理决策中进行灵敏度分析的重要工具。对偶理论有许多重要应用：在原始的和对偶的两个线性规划中求解任何一个规划时，会自动地给出另一个规划的最优解；当对偶问题比原始问题有较少约束时，求解对偶规划比求解原始规划要方便得多；对偶规划中的变量就是影子价格。
对偶问题 每一个线性规划问题都伴随有另一个线性规划问题，称为对偶问题。原来的线性规划问题则称为原始线性规划问题，简称原始问题。对偶问题有许多重要的特征，它的变量能提供关于原始问题最优解的许多重要资料，有助于原始问题的求解和分析。对偶问题与原始问题之间存在着下列关系：①目标函数对原始问题是极大化，对对偶问题则是极小化。②原始问题目标函数中的收益系数是对偶问题约束不等式中的右端常数，而原始问题约束不等式中的右端常数则是对偶问题中目标函数的收益系数。③原始问题和对偶问题的约束不等式的符号方向相反。④原始问题约束不等式系数矩阵转置后即为对偶问题的约束不等式的系数矩阵。⑤原始问题的约束方程数对应于对偶问题的变量数，而原始问题的变量数对应于对偶问题的约束方程数。⑥对偶问题的对偶问题是原始问题，这一性质被称为原始和对偶问题的对称性。
基本定理 原始问题和对偶问题的标准形式如下：
对偶问题
z＝cx
min
＝yb
Ax≤b
s.t.
yA≥c
y≥0
式中max表示求极大值,min表示求极小值,s.t.表示"约束条件为"；z为原始问题的目标函数，w为对偶问题的目标函数；x为原始问题的决策变量列向量（n×1），y为对偶问题的决策变量行向量(1×m);A为原始问题的系数矩阵(m×n),b为原始问题的右端常数列向量（m×1），c为原始问题的目标函数系数行向量（1×n）。在原始问题与对偶问题之间存在着一系列深刻的关系，业已得到严格数学证明的有如下一些定理。
弱对偶定理 若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0和y0,则y0b≥cx0。这个定理表明极大化问题任一可行解的目标函数值总是不大于它的对偶问题的任一可行解的目标函数值。
强对偶定理 若上述原始问题和对偶问题都可行，则它们分别有最优解x*和y*，且cx*=y*b。
最优准则定理 若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0和y0,且两者的目标函数值相等，即y0b=cx0,则两个可行解分别为对应线性规划的最优解。
互补松弛定理 若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0和y0，且u0和v0分别为它们的松弛变量,则当且仅当v0x0+u0y0时，x0和y0分别为它们的最优解。
松弛定理 若上述原始问题和对偶问题分别有可行解x0和y0,且u0和v0分别为它们的松弛变量，则当且仅当v0x0=0 和u0y0=0时, x0和y0分别为它们的最优解。v0x0=0和u0y0=0这两个等式称为互补松弛条件。
对称对偶线性规划 具有对称形式的线性规划的特点是：①全部约束条件均为不等式，对极大化问题为≤，对极小化问题为≥。②全部变量均为非负。列出对称对偶线性规划的步骤是：①规定非负的对偶变量，变量数等于原始问题的约束方程数。②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。⑤把原始问题约束条件中的不等号反向作为对偶问题约束条件的不等号。⑥将原始问题目标函数取极大化改成对偶问题目标函数取极小化。
非对称对偶线性规划 有时线性规划并不以对称方式出现，如约束条件并不都是同向不等式，变量可以是非正的或没有符号约束。列写非对称对偶线性规划可参照原始-对偶表（见表）按下列步骤进行：①规定对偶变量，变量个数等于原始问题约束不等式数。②把原始问题的目标函数系数作为对偶问题约束不等式的右端常数。③把原始问题约束不等式的右端常数作为对偶问题的目标函数系数。④把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵。⑤根据原始问题的约束不等式情况，确定对偶变量的符号约束。⑥根据原始问题决策变量的符号约束，确定对偶问题约束不等式的符号方向。
对偶问题的最优解 从原始问题的最终单纯形表中（最优单纯形算子）可直接得到对偶问题的最优解。原始问题中松弛变量的检验数对应着对偶问题的解（符号相反）。在用单纯形法时每一步迭代可得到原始问题的可行解x0和对偶问题的补充解y0,且cx0=y0b,若x0不是原始问题的最优解，y0就不是对偶问题的可行解。最后一步迭代得到原始问题的最优解x*和对偶问题的补充最优解y*，且cx*=y*b。y*是原始问题的影子价格。
说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。
参考词条