补充资料：流形的微分几何学

流形的微分几何学
differential geometry of manifolds

空间.由H浏妙定理以及Hod廖理论中的若干其他论断，给出了关于具有非平凡平行微分形式(见平行场(p翻刀elfleld))的R~空间M的上同调环H.M之结构的信息，因而有非标准的和乐群r尹50(n)，O(n)，K益川er流形和对称空间便是这种空间的例子(见K习山r流形(K翻iler rnanifold);对称空间(syrnrnetncsPaCe)). 现代微分几何学研究中的一个重要趋势是研究任意流形上的自然向量丛(k阶切丛和余切丛，张量丛，k阶标架丛，射流丛，等)和发现它们的自然(即关于流形M的微分同胚为不变的)几何结构(【231).这种结构的例子包括余切丛T’M上的规范辛结构和M上函数的1射流丛J’(M，R)中的规范切触结构(它们在一阶偏微分方程理论和H出面lton力学中起着重要作用)以及M上外微分形式丛左(M)上的外微分算子. 微分几何的代数方法正在成功地发展着.这里的原始概念不是流形，而是交换环F(流形上函数的环)，流形本身借助于F被定义为最大理想的空间(见概形(s比曰ne)).M上向量场被定义为这个环F的导数(见环中的导子(山巧枪tion in an刀g)和模上的微分算子(山跳代泊往习ope份tor ona抑edule)).这种方法有可能推广微分几何学的各种结果(例如，推广到超流形上)，并简化它们的证明;也有可能把微分几何学的思想应用到其他数学理论(例如，环论和模论)上，并且反过来，把各种代数结果应用于微分几何中(仁17]).处的曲率张量及其共变导数完全决定;另一方面，它还包含了关于空间几何和拓扑的某些信息.因此，若和乐群知道了，则就能找到所有的平行场，从而也能解决关于R七tnaxm空间分解成两个其他R如圈劝n空间的直积的可能性问题.利用对称空间的和乐群.就能构造空间本身，并且也能确定它的等距群. 1919年，在发展玫访.Ci访ta的平行移动想法和推广R七m田m的空间概念时，H.W印考虑了具有线性联络(linearco训伐tion)的空间—切向量沿曲线平行移动具有特定规律的流形.测地线、曲率张量和和乐群都可在具有线性联络的空间中定义.R七m题m空间是具有线性联络的空间的特例，对于这种空间，其和乐群包含在正交群内.若和乐群包含在线性相似群R’·so(n)中，则联络称为共形的(田刘允m川);在这种情况下，流形上就产生一个共形结构(。刊七m司stlu改眠). 城尹想法的发展导致创立流形上的联络(。。

说明：补充资料仅用于学习参考，请勿用于其它任何用途。