补充资料：Gauss分解

Gauss分解
Gauss decomposition

拓扑群G的 G的一个处处稠密的子集吼的形如G0二NHN’的表示，其中H为G的Abel子群，N和N’为G的幂零子群，它们被H正规化.若G是由所有m阶非奇异实方阵构成的群GL(阴，R)，H是由所有对角方阵构成的子群，N(N‘)是主对角元素为l的下(上)三角方阵构成的子群，几为G中所有主子式不等于零的矩阵构成的子群，则分解q=N万N.称为一般线性群的Ga哪分解.它直接相关于解线性方程组的G叫困法(Ga璐n犯山浏):若线性方程组gox=b的系数矩阵g0非退化，且g0“nhn‘，n‘N，h‘H，矿‘N.，则此方程可以应用(饱u骆法，即从左边乘以下三角方阵。一‘，。任N而变成三角形式彻叹=n一’b.为了给出Ga璐分解的严格定义，必须引进下面术语.设G为拓扑群(topologicalgrouP)，H为它的子群，设N和N’为G的幂零子群，被H正规化.G的子群H称为G的三角斜截(山allgulartruncation)，如果l)N任D因，N‘C=D(R’)，其中D伏)是群尤的换位子群，R和R’为群G的连通可解子群;2)集G0二入万N’在G中处处稠密，且分解NHN*是唯一的.分解G0二N月N’称为G的三角分解(曲ngulardeCompositio们).如果H是A侧群(Abeliang力叩)，则这个分解称为完全三角分解砂。m pletely一州an-g川肛deCOm衅itjon)或〔泊u粥分解归aUSS deComposition)·这时子群B二八万二月N，B’二N扮=月八r.可解.设二为群G在有限维线性空间V上的不可约涟续)表示，V0为由v中在N，作用下不变的向量全体构成的子空间，则V0在H下不变，这时在K上H的表示:是不可约的.表示:在等价意义下唯一确定二.仍记B在气上之表示为:，它限制在H上为已给的“，在N上为平凡表示.记e恤)为由此戊诱导的G之表示，其表示空间为C(G，V0).则汀包含在(作为不变部分)e(的中，且空间HomG位，e间)是一维的.如果H为Abel子群，则气为一维的，仪为群H的特征标.下面的Lie群三角分解的例子是已知的:l)设G为约化连通复块群(硫脚叩)，其C田仓田子代数(O川an subalgebra)为H0，又设H为G中包含风的约化连通子群.于是子群H是G的三角斜截.2)设G为约化连通线性Lie群;于是G包含一个三角斜截H=M月，其中A为G中(由G的疏代数的非紧根生成)单连通Abel子群，且M是A在极大紧子群XCG中中心化子.3)特别，任何约化连通复Lie群有C饱压弥分解玩=乃任了N‘，其中H为G的Cartan子群，N(N’)为G中解析子群，其赚代数由所有根向量气，“<0位>0)生成，这里“是关于H之根，即月N和月N’是反向E幻正】子群(参见致口d子群(BO政sub脚-叩)).在例1)，2)，3)中，子群N和N‘是单连通的，民在G中关于西比拓拓扑为开的，这时映射NxHxN，，(n，h，n’)~n彻’是代数簇的同构(特别，也是同胚)，这蕴含了代数族G是有理的.Ga.如分解「〔油理沼山”期详d翻，;rayeca pa3月。狱e.oel，

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