补充资料：本征值(量子力学)

本征值(量子力学)
Eigenvalue (quantum mechanics)

　　本征值(量子力学)(eigenvalue(quan-tum meehanies)) 如果一个含有一个可变参量的方程式仅当该参量取某些特殊数值时才有非平凡解，那么这些解就叫做本征函数，而这些特殊数值则称为本征值。 本征函数一本征值的关系在量子力学中特别重要，这是因为它们在联系理论的数学形式与物理结果上极为关键。参阅“本征函数，，(eigenfunetion)条。 在量子力学中，重力学变量f是以运算一个波函数沪。(x，t)的算子f来表示的，沪。(x，t)描述所讨论的在某一状态下的系统，这一状态由m来表示(这里x代表所有用来描述该系统的坐标)。量f的期待值由式(1)给出: (f)一丁，。，(X，，)加、(艾，:)(JX)，(1)式中丁(d工)表示对所有坐标的积分。动力学变量只取实数值的要求导致要对表示它们的算子有所限制。fm。定义为 、。(‘)一{，，·(X，‘)加，(J，，)(、了)。(2)这个限制就是说，对所有的m和n，式(3)成立: f，n，(t)一人，‘(t)。(3)这就是在本征函数中所引入的自伴算子的直接推广。凡属于这一类算子的均称为厄米算子。出现在本征函数中的完备性和正交性，以及矩阵和微分表述的等价性，全都有与它们相对应的用厄米算子表述的形式。在这里本征值和本征函数的关系尤其重要，因为假定对动力学变量f的测量，仅对应于算子了的本征函数的那些态才会给出确定的并可以预言的数值。这些数值正是式(4)中了的本征值: 加，=fnp，，(4)式中n叫做量子数，标志着不同的本征态(带有不同下标的本征值人未必不相同;两个不同的态若有相同的本征值就叫做简并)。如果了在理论中是一微分厄米算子，则式(4)很容易变换成矩阵方程 艺人川u岔，一人u沂·，。(5)随着高速计算机的出现，这通常是定出本征值的最容易的办法。在“本征函数”条中也已指出:一个矩阵的本征矢量会定义转到某种基上去的一个变换，对于这种基矩阵是对角的。因此，通常把求出本征值和本征函数的过程叫做对角化，在这样的基上写出的矩阵就是对角的。究竟有多少个算子可以同时对角化?下面的定理回答了这个问题:如果有两个厄米算子了和宫对易，就会存在一个完备的本征函数集，使它们两个都对角化。实际上，其中一个算子往往就是哈密顿算子方。因为任何和方对易的算子都是个恒量，这样所有其他和方对易而又彼此都互相对易的算子的本征值也是恒量杏，所以标志着本征值的量子数就验明了系统的一些恒定性质。对于理论的基本之点是:一个系统要被对应于那些彼此互相对易而又与哈密顿量对易的一组最大可能的独立算子的量子数尽可能完全地表征。参阅“简并(量子力学)”〔degeneraey(quantum meehanies)〕、“非相对论性量子理论，，(nonrelativistie quantum theory)各条。
　　

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